Bài tập 26, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter, với $S$ hữu hạn. Với mọi tập con $H$ của $W$, ký hiệu $H(t)$ là chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số nguyên được định nghĩa bởi

a) Giả sử rằng $\mathrm{Card}(S) = 2$. Chứng minh rằng

b) Giả sử rằng W là hữu hạn. Gọi $w_0$ là phần tử của W có độ dài lớn nhất (Bài tập 22) và đặt $m = l(w_0)$. Chứng minh rằng

(sử dụng Bài tập 22).

c) Cho X là một tập con của S. Ký hiệu $A_X$ là tập hợp các phần tử $(X, \varnothing)$-rút gọn của W (Bài tập 3) và $W_X$ là nhóm con của W sinh bởi X. Ta biết (Bài tập 3) rằng một phần tử $w \in W$ thuộc $A_X$ khi và chỉ khi $l(xw) = l(w) + 1$ với mọi $x \in X$, rằng mọi phần tử $w \in W$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $w = uv$ với $u \in W_X$ và $v \in A_X$, và trong trường hợp đó $l(w) = l(u) + l(v)$. Suy ra công thức

d) Giữ nguyên các ký hiệu trên và ký hiệu $B_X$ là tập hợp các $w \in A_X$ sao cho $l(sw) = l(w) - 1$ với mọi $s \in S - X$. Chứng minh rằng

Suy ra (sử dụng Bài tập 25).

e) Giả sử rằng W là hữu hạn và định nghĩa m và $w_0$ như trong b). Chứng minh rằng $B_\varnothing = \{ w_0 \}$ và

(sử dụng c) và d)).

f) Giả sử rằng W là vô hạn. Chứng minh rằng $B_\varnothing = \varnothing$ và

g) Chứng minh rằng chuỗi lũy thừa hình thức $W(t)$ là một hàm hữu tỉ của t (sử dụng f) và lập luận bằng quy nạp theo $\operatorname{Card}(S)$). Chứng minh rằng hàm hữu tỉ này triệt tiêu khi t là một nghiệm của đơn vị, và rằng $1/W(\infty)$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $\frac{1}{W(t^{-1})} \in \mathbf{Z}[[t]]$.