Exercice 26, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter, avec $S$ fini. Pour toute partie $H$ de $W$, on désigne par $H(t)$ la série formelle à coefficients entiers définie par :

a) On suppose que $\operatorname{Card}(S) = 2$. Montrer que

b) On suppose que $W$ est fini. Soit $w_0$ l’élément de plus grande longueur de $W$ (exerc. 22) et soit $m = l(w_0)$. Montrer que l’on a :

(utiliser l’exerc. 22).

c) Soit $X$ une partie de $S$. On note $A_X$ l’ensemble des éléments $(X, \emptyset)$-réduits de $W$ (exerc. 3) et $W_X$ le sous-groupe de $W$ engendré par $X$. On sait (exerc. 3) qu’un élément $w \in W$ appartient à $A_X$ si et seulement si $l(xw) = l(w) + 1$ pour tout $x \in X$, que tout élément $w \in W$ s’écrit de façon unique sous la forme $w = uv$ avec $u \in W_X$ et $v \in A_X$, et que l’on a alors $l(w) = l(u) + l(v)$. En déduire la formule :

d) On conserve les notations précédentes, et on note $B_X$ l’ensemble des $w \in A_X$ tels que $l(sw) = l(w) - 1$ pour tout $s \in S - X$. Montrer que l’on a :

En déduire que :

(utiliser l’exerc. 25).

e) On suppose $W$ fini et l’on définit $m$ et $w_0$ comme dans $b$). Montrer que $B_\emptyset = \{w_0\}$ et que :

(utiliser $c$ et $d$).

f) On suppose $W$ infini. Montrer que $B_\emptyset = \emptyset$ et que l’on a :

g) Montrer que la série formelle $W(t)$ est une fonction rationnelle de $t$ (utiliser $f$) et raisonner par récurrence sur $\operatorname{Card}(S)$). Montrer que cette fonction rationnelle ne s’annule que pour des valeurs de $t$ qui sont des racines de l’unité; montrer que $1/W(\infty)$ est un entier. Montrer que l’on a $\frac{1}{W(t^{-1})} \in \mathbf{Z}[[t]]$.