Bài tập 9, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter với ma trận $(m(s, s'))$, và cho $W^+$ là nhóm con của W gồm các phần tử có độ dài chẵn. Cho $s_0 \in S$. Đặt $g_s = ss_0$. Hãy chỉ ra rằng họ $(g_s)_{s \in S - {s_0}}$ và các quan hệ $g_s^{m(s, s_0)} = 1$ với $m(s, s_0) \neq \infty$ và $(g_s g_{s'}^{-1})^{m(s, s')} = 1$ với $s, s' \in S - {s_0}$ và $m(s, s') \neq \infty$, tạo thành một biểu diễn của $W^+$. (Cho $H^+$ là nhóm được định nghĩa bởi biểu diễn trên. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tự đẳng cấu α của $H^+$, có bình phương là đồng nhất, biến $g_s$ thành $g_s^{-1}$ với mọi $s \in S - {s_0}$. Nếu $H_\alpha$ là tích nửa trực tiếp của $\{1, -1\}$ và $H^+$, ứng với α, hãy định nghĩa các đồng cấu nghịch đảo nhau $H_\alpha \to W$ và $W \to H_\alpha$.) Hãy chỉ ra rằng nếu các phần tử của S là liên hợp (xem Mệnh đề 3), thì nhóm $W^+$ là nhóm con giao hoán của W (nhận xét rằng khi đó các phần tử $g_s$ là các giao hoán tử).