Exercice 9, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter de matrice $(m(s, s'))$, et soit $W^+$ le sous-groupe de $W$ formé des éléments de longueur paire. Soit $s_0 \in S$. Posons $g_s = ss_0$. Montrer que la famille $(g_s)_{s \in S - \{s_0\}}$ et les relations $g_s^{m(s, s_0)} = 1$ pour $m(s, s_0) \neq \infty$ et $(g_s g_{s'}^{-1})^{m(s, s')} = 1$ pour $s, s' \in S - \{s_0\}$ et $m(s, s') \neq \infty$, forment une présentation de $W^+$. (Soit $H^+$ le groupe défini par la présentation ci-dessus. Montrer qu’il existe un automorphisme $\alpha$ de $H^+$, de carré l’identité, qui transforme $g_s$ en $g_s^{-1}$ pour tout $s \in S - \{s_0\}$. Si $H_\alpha$ est le produit semi-direct de $\{1, -1\}$ et de $H^+$, relatif à $\alpha$, définir des homomorphismes $H_\alpha \to W$ et $W \to H_\alpha$ inverses l’un de l’autre.) Montrer que si les éléments de $S$ sont conjugués (cf. prop. 3), le groupe $W^+$ est le groupe des commutateurs de $W$ (remarquer que les éléments $g_s$ sont alors des commutateurs).