Bài tập 1, Phụ lục 1

Cho G là một nhóm compact liên thông. Ký hiệu $d(G)$ là cận trên của các chiều của các thương của G là các nhóm Lie. Giả sử rằng $d(G)<\infty$.

a) Cho K là một nhóm con chuẩn đóng của G; chứng minh rằng $d(G/K)\leq d$(G), và rằng $d(G/K) =d(G)$ nếu K là toàn gián đoạn. b) Chứng minh rằng D(G) là một nhóm Lie, và rằng hạt nhân của đồng cấu $(x, y) \rightarrow xy$ từ $C(G)_0\times D(G)$ vào G là hữu hạn.

c) Cho $p=d(C(G)_0)$. Khi đó $p <\infty$; chứng minh rằng tồn tại một nhóm compact toàn gián đoạn D và một đồng cấu $i:\mathbf{Z}^p\rightarrow D$ có ảnh trù mật, sao cho $C(G)_0$ đẳng cấu với $(\mathbf{R}^p\times D)/\Gamma$, trong đó $\Gamma$ là ảnh của $\mathbf{Z}^p$ qua đồng cấu $x \rightarrow (x, i(x))$ (viết $C(G)_0$ như một giới hạn xạ ảnh của các xuyến có chiều $p$).

d) Giả sử rằng G liên thông địa phương; chứng minh rằng khi đó G là một nhóm Lie.