Exercice 1, Annexe 1

Soit G un groupe compact connexe. On note d(G) la borne supérieure des dimensions des quotients de G qui sont des groupes de Lie. On suppose d(G) < ∞. a) Soit K un sous-groupe fermé distingué de G ; montrer qu’on a d(G/K) ≤ d(G), et d(G/K) = d(G) si K est totalement discontinu. b) Montrer que D(G) est un groupe de Lie, et que le noyau de l’homomorphisme (x, y) ↦ xy de C(G)_0 × D(G) dans G est fini. c) Soit p = d(C(G)_0). On a p < ∞ ; démontrer qu’il existe un groupe compact totalement discontinu D et un homomorphisme i : Z^p → D d’image dense, tels que C(G)_0 soit isomorphe à (R^p × D)/Γ, où Γ est l’image de Z^p par l’homomorphisme x ↦ (x, i(x)) (écrire C(G)_0 comme limite projective de tores de dimension p). d) On suppose G localement connexe ; montrer que G est alors un groupe de Lie.