Bài tập 10, § 4

Cho G là một nhóm con đóng của GL(E) chứa W. Giả sử rằng G là đơn môđula (Tích phân, Chương VII, § 1, no. 3). Cho D là một nửa đường thẳng của E^* được chứa trong C, và cho G_D là nhóm con ổn định của D trong G.

a) Cho \Delta là tập hợp các phần tử g \in G sao cho g(D) \subset C. Chứng minh rằng \Delta là mở, ổn định đối với phép nhân bên phải bởi G_D, và ánh xạ hợp thành \Delta \to G \to W\backslash G là đơn ánh, trong đó W\backslash G là không gian thuần nhất của các lớp kề phải của G đối với W.

b) Cho \mu là một độ đo Haar trên G. Chứng minh rằng, nếu \mu(\Delta) là hữu hạn, thì nhóm con G_D là compact. (Cho K là một lân cận compact của phần tử đơn vị được chứa trong \Delta; chứng minh rằng tồn tại hữu hạn phần tử h_i \in G_D sao cho mọi tập hợp có dạng Kh, với h \in G_D, đều gặp một trong các Kh_i; suy ra rằng G_D được chứa trong hợp của các K^{-1}.K.h_i, và do đó là compact.)

c) Cho \nu là một độ đo dương khác không trên W\backslash G bất biến dưới G. Chứng minh rằng, nếu \nu(W\backslash G) < \infty, thì G_D là compact.