Exercice 10, § 4

Soit G un sous-groupe fermé de $\mathbf{GL}(E)$ contenant W. On suppose que G est unimodulaire (Intégr., chap. VII, § 1, n° 3). Soit D une demi-droite de $E^*$ contenue dans C, et soit $G_D$ le stabilisateur de D dans G.

a) Soit $\Delta$ l’ensemble des éléments $g \in G$ tels que $g(D) \subset C$. Montrer que $\Delta$ est ouvert, stable par multiplication à droite par $G_D$, et que l’application composée $\Delta \to G \to W|G$ est injective, $W|G$ désignant l’espace homogène des classes à droite de G suivant W.

b) Soit $\mu$ une mesure de Haar sur G. Montrer que, si $\mu(\Delta)$ est fini, le sous-groupe $G_D$ est compact. (Soit K un voisinage compact de l’élément neutre contenu dans $\Delta$; montrer qu’il existe un nombre fini d’éléments $h_i \in G_D$ tels que tout ensemble de la forme $Kh$, avec $h \in G_D$, rencontre l’un des $K h_i$; en déduire que $G_D$ est contenu dans la réunion des $K^{-1}.K.h_i$, donc compact.) c) Soit $\nu$ une mesure sur $W|G$ invariante par $G$. Montrer que, si $\nu(W|G) < \infty$, alors $G_D$ est compact.