Bài tập 11, § 4

Gọi H là tập con của $\mathbf{R}^n$ gồm các điểm $x = (x_0, \ldots, x_{n-1})$ mà với chúng dạng

là < 0, và gọi $\mathbf{P}H$ là ảnh của H trong không gian xạ ảnh $\mathbf{P}_{n-1}(\mathbf{R})$. Gọi G là nhóm trực giao của dạng B.

a) Chứng minh rằng $\mathbf{P}H$ là một không gian thuần nhất của G, rằng nhóm ổn định của một điểm là compact, và rằng G tác động một cách proper trên $\mathbf{P}H$.

b) Gọi $\omega$ và $\Omega$ là các dạng vi phân trên H được xác định bởi các công thức

Chứng minh rằng $\Omega$ là ảnh ngược theo phép chiếu chính tắc $\pi : H \to \mathbf{P}H$ của một dạng vi phân $\tilde{\Omega}$ trên $\mathbf{P}H$. Chứng minh rằng độ đo dương $\nu$ liên kết với $\tilde{\Omega}$ (Đa tạp khả vi R, phần thứ 2) là bất biến dưới G, và rằng, trừ một nhân tử vô hướng, đó là độ đo duy nhất như vậy.

c) Gọi C là một nón đơn hình mở có đỉnh 0 trong $\mathbf{R}^n$ (§ 1, no. 6). Giả sử rằng C được chứa trong H, và ký hiệu bởi $\mathbf{P}C$ ảnh của C dưới $\pi : H \to \mathbf{P}H$. Chứng minh rằng, nếu $n \geq 3$, thì $\nu(\mathbf{P}C) < \infty$ (đồng nhất $\mathbf{P}H$ với không gian con của $\mathbf{R}^{n-1}$ gồm các $(x_1, \ldots, x_{n-1})$ sao cho $\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 < 1$, và xác định độ đo tương ứng với $\nu$ trên không gian con này). Chứng minh rằng $\mathbf{P}C$ là compact tương đối trong $\mathbf{P}H$ khi và chỉ khi $\overline{C}$ được chứa trong H.