Bài tập 18, § 4

Giả sử rằng (W, S) là kiểu hyperbol và rằng W giữ ổn định một dàn $\Gamma$ của E. Gọi G là nhóm trực giao của $B_M$, và gọi $G(\Gamma)$ là nhóm con gồm các phần tử $g \in G$ sao cho $g\Gamma = \Gamma$. Chứng minh rằng $G(\Gamma)$ là một nhóm con rời rạc của G. Chứng minh rằng W là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của $G(\Gamma)$ (sử dụng sự kiện rằng độ đo của $W \setminus G$ là hữu hạn).

*Nếu (W, S) thực sự là kiểu hyperbol compact, chứng minh rằng đồ thị Coxeter tương ứng đẳng cấu với một trong các đồ thị sau (sử dụng Bài tập 4, 6 và 15):

!Năm đồ thị Coxeter

và

Chứng minh rằng tất cả các nhóm tương ứng với các đồ thị của Bài tập 16 (ngoại trừ bốn đồ thị cuối cùng) giữ ổn định một dàn (sử dụng phương pháp của Bài tập 6).*