Exercice 18, § 4

On suppose que $(W, S)$ est de type hyperbolique, et que $W$ laisse stable un réseau $\Gamma$ de $E$. Soit $G$ le groupe orthogonal de $B_M$, et soit $G(\Gamma)$ le sous-groupe des éléments $g \in G$ tels que $g\Gamma = \Gamma$. Montrer que $G(\Gamma)$ est un sous-groupe discret de $G$. Montrer que $W$ est un sous-groupe d’indice fini de $G(\Gamma)$ (utiliser le fait que la mesure de $W|G$ est finie). *Lorsqu’en outre $(W, S)$ est de type hyperbolique compact, montrer que le graphe de Coxeter correspondant est isomorphe à l’un des suivants (utiliser les exerc. 4, 6 et 15) :

!Graphes de Coxeter

Montrer que tous les groupes correspondant aux graphes de l’exerc. 16 (à l’exception des quatre derniers) laissent stable un réseau (utiliser la méthode de l’exerc. 6).