Bài tập 19, § 4

Cho $(W, S)$ là hệ Coxeter tương ứng với đồ thị

!A Coxeter graph

Đây là một hệ thuộc kiểu hyperbolic compact (xem Bài tập 15). Các hệ số của dạng $B_M$ đối với cơ sở $(e_s)$ thuộc vành con A của trường $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ gồm các phần tử của trường này là các số nguyên trên $\mathbf{Z}$.

a) Cho $\sigma$ là phép nhúng của K vào $\mathbf{R}$ biến $\sqrt{5}$ thành $-\sqrt{5}$. Chứng minh rằng biến đổi $\sigma(B_M)$ của dạng $B_M$ bởi $\sigma$ là không suy biến và dương.

b) Cho G là nhóm trực giao của $B_M$, và cho $G_\sigma$ là nhóm trực giao của $\sigma(B_M)$. Cho $G_A$ là nhóm con của G gồm các phần tử mà các ma trận của chúng đối với $(e_s)$ có các hệ số thuộc A. Chứng minh rằng $G_A$ có thể được đồng nhất với một nhóm con rời rạc của $G \times G_\sigma$ và sau đó, dùng a), chứng minh rằng $G_A$ là một nhóm con rời rạc của G.

c) Chứng minh rằng W là một nhóm con của $G_A$ có chỉ số hữu hạn.

d) Chứng minh các kết quả tương tự cho các đồ thị khác trong Bài tập 15 (trường Q(\sqrt{5}) đôi khi được thay thế bởi Q(\sqrt{2}), ngoại trừ đồ thị

!Graph with two nodes labeled 4

được xét trong Bài tập 18, và đồ thị⁸

!Đồ thị với hai nút được gắn nhãn 4 và một nút được gắn nhãn 5