Exercice 19, § 4

Soit $(W, S)$ le système de Coxeter correspondant au graphe

!Graphe de Coxeter

C’est un système de type hyperbolique compact (cf. exerc. 15). Les coefficients de la forme $B_M$ par rapport à la base $(e_s)$ appartiennent au sous-anneau $A$ du corps $K = \mathbf{Q}(\sqrt{5})$ formé des éléments de ce corps qui sont entiers sur $\mathbf{Z}$. a) Soit $\sigma$ le plongement de $K$ dans $\mathbf{R}$ qui applique $\sqrt{5}$ sur $-\sqrt{5}$. Montrer que la forme $\sigma(B_M)$ transformée de $B_M$ par $\sigma$ est positive non dégénérée. b) Soit $G$ le groupe orthogonal de $B_M$, et soit $G_\sigma$ celui de la forme $\sigma(B_M)$. Soit $G_A$ le sous-groupe de $G$ formé des éléments dont les matrices par rapport à $(e_s)$ sont à coefficients dans $A$. Montrer que $G_A$ s’identifie à un sous-groupe discret de $G \times G_\sigma$, puis, en utilisant a), montrer que $G_A$ est un sous-groupe discret de $G$.

c) Montrer que W est un sous-groupe d’indice fini de $G_A$.

d) Démontrer les résultats analogues pour les autres graphes de l’exerc. 15 (le corps $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ étant parfois remplacé par le corps $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$), à l’exception du graphe traité dans l’exerc. 18, et du graphe (*).

!Graphe avec des sommets 4, 4, 5