Bài tập 2, § 5

Cho A là một vành chính, E một A-môđun tự do hạng hữu hạn l, và G một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(E)$. Giả sử rằng:

(i) Nếu $q = \mathrm{Card}(G)$, phần tử $q.1$ của A là khả nghịch. (ii) G được sinh bởi các giả phản xạ trong E (tức là bởi các phần tử s sao cho $(s-1)(E)$ là một môđun con đơn sinh của E, x. § 2, Bài tập 1.)

⁸ Như E. Vinberg đã chỉ ra, nhóm W tương ứng với đồ thị cuối cùng này không phải là một nhóm con của G thuộc kiểu "số học". Tình huống tương tự xuất hiện đối với nhiều đồ thị khác thuộc kiểu hyperbolic (lần này là không compắc), đặc biệt là đối với bốn đồ thị cuối trong Bài tập 16.

Cho $S(E)$ là đại số đối xứng của $E$, và cho $S(E)^G$ là đại số con của $S(E)$ gồm các phần tử bất biến dưới $G$. Hãy chỉ ra rằng, với mọi đồng cấu từ $A$ vào một trường $k$, $S(E)^G \otimes k$ có thể được đồng nhất với $S(E \otimes k)^G$. Suy ra, bằng cách áp dụng Th. 4, rằng $S(E)^G$ là một đại số đa thức phân bậc trên $A$.