Exercice 2, § 5

Soient A un anneau principal, E un A-module libre de rang fini $l$, et G un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}(E)$. On fait les deux hypothèses suivantes :

(i) Si $q = \mathrm{Card}(G)$, l’élément $q.1$ de A est inversible.

(ii) G est engendré par des pseudo-réflexions de E (i.e. par des éléments s tels que $(s-1)(E)$ soit un sous-module monogène de E, cf. § 2, exerc. 1).

Soit $S(E)$ l’algèbre symétrique de E, et soit $S(E)^G$ la sous-algèbre de $S(E)$ formée des éléments invariants par G. Montrer que, pour tout homomorphisme de A dans un corps k, $S(E)^G \otimes k$ s’identifie à $S(E \otimes k)^G$. En déduire, en appliquant le th. 4, que $S(E)^G$ est une algèbre graduée de polynômes sur A.