Bài tập 4, § 5

*Cho $G_1 = \mathbf{SL}_3(\mathbf{F}_2)$. a) Chứng minh rằng $G_1$ là một nhóm đơn không Abel cấp 168, chứa 21 phần tử cấp 2. b) Chứng minh rằng các bậc của các biểu diễn phức bất khả quy của $G_1$ là 1, 3, 3, 6, 7, 8. c) Cho $\rho : G_1 \to \mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$ là một biểu diễn bất khả quy $^{10}$ của $G_1$ có bậc 3. Nếu $y \in G_1$ có cấp 2, hãy chứng minh rằng $\mathrm{Tr}(\rho(y)) = -1$. Suy ra rằng $-\rho(y)$ là một phép phản xạ. d) Gọi $G$ là nhóm con của $\mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$ được sinh bởi các phần tử $-\rho(y)$, với $y$ có cấp 2 trong $G_1$. Chứng minh rằng $G$ đẳng cấu với $G_1 \times \{1, -1\}$, và do đó có cấp 336.

$^{10}$ Có thể tìm thấy một nghiên cứu chi tiết về một biểu diễn như vậy trong H. WEBER, Lehrbuch der Algebra, Bd. II, Abschn. 15.

e) Chứng minh rằng các bậc đặc số $k_1, k_2, k_3$ của đại số các bất biến đối xứng của $G$ bằng 4, 6 và 14. (Dùng các hệ thức $\prod_i k_i = 336$ và $\sum_i (k_i - 1) = 21.$)

f) Chứng minh rằng $G$ không phải là một nhóm Coxeter.*