Exercice 4, § 5

*Soit $G_1 = \mathbf{SL}_3(\mathbf{F}_2)$.

a) Montrer que $G_1$ est un groupe simple non abélien, d’ordre 168, contenant 21 éléments d’ordre 2.

b) Montrer que les degrés des représentations complexes irréductibles de $G_1$ sont 1, 3, 3, 6, 7, 8.

c) Soit $\rho : G_1 \to \mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$ une représentation irréductible de degré 3 de $G_1 (*)$. Si $y \in G_1$ est d’ordre 2, montrer que $\mathrm{Tr}(\rho(y)) = -1$. En déduire que $-\rho(y)$ est une réflexion.

d) Soit $G$ le sous-groupe de $\mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$ engendré par les éléments $-\rho(y)$, pour $y$ d’ordre 2 dans $G_1$. Montrer que $G$ est isomorphe à $G_1 \times \{1, -1\}$, donc d’ordre 336.

e) Montrer que les degrés caractéristiques $k_1, k_2, k_3$ de l’algèbre des invariants symétriques de $G$ sont égaux à 4, 6 et 14. (Utiliser les relations $\prod_i k_i = 336$ et $\sum_i (k_i - 1) = 21$).

f) Montrer que $G$ n’est pas un groupe de Coxeter.*