Bài tập 5, § 5

*Cho $K$ là một trường và $S = K[X_1, \ldots, X_n]$ là một đại số đa thức phân bậc trên $K$, sinh bởi các phần tử độc lập đại số $X_i$, thuần nhất có bậc $> 0$.

a) Cho $Y_1, \ldots, Y_n$ là các phần tử thuần nhất của $S$ có bậc $> 0$, và cho $R = K[Y_1, \ldots, Y_n]$ là đại số con của $S$ sinh bởi các phần tử này. Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $(Y_1, \ldots, Y_n)$ là một dãy $S$-chính quy.

(ii) $S$ là nguyên trên $R$.

(iii) Iđêan của $S$ sinh bởi $Y_1, \ldots, Y_n$ có đối chiều hữu hạn trong $S$.

(iv) Với mọi mở rộng $\overline{K}$ của $K$, hệ phương trình $Y_i(x_1, \ldots, x_n) = 0$ ($1 \leq i \leq n, x_i \in \overline{K}$) chỉ có nghiệm tầm thường $(0, \ldots, 0)$.

((i) $\Longleftrightarrow$ (iii)) suy ra từ một định lý của Macaulay (Commutative Algebra); (iii) $\Longleftrightarrow$ (iv)) suy ra từ Định lý các không điểm (Commutative Algebra, Chap. V, §3, no. 3, Prop. 2); (ii) $\Longleftrightarrow$ (iii)) là dễ.)

Nếu các tính chất này được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng $Y_i$ độc lập đại số trên $K$, và rằng $S$ là một $R$-môđun tự do có hạng bằng

b) Cho $G$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của đại số phân bậc $S$, cho $S^G$ là đại số con các bất biến của nó, và cho $Y_1, \ldots, Y_n$ là các phần tử của $S^G$ thỏa mãn các điều kiện (i),..., (iv) ở trên. Chứng minh rằng $S^G = K[Y_1, \ldots, Y_n]$ khi và chỉ khi