Exercice 5, § 5

*Soit $K$ un corps et soit $S = K[X_1, \ldots, X_n]$ une $K$-algèbre graduée de polynômes, engendrée par des éléments algébriquement indépendants $X_i$, homogènes de degrés $> 0$.

a) Soient $Y_1, \ldots, Y_n$ des éléments homogènes de degrés $> 0$ de $S$, et soit $R = K[Y_1, \ldots, Y_n]$ la sous-algèbre de $S$ engendrée par ces éléments. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes :

(i) $(Y_1, \ldots, Y_n)$ est une suite $S$-régulière.

(ii) $S$ est entier sur $R$.

(iii) L’idéal de $S$ engendré par $(Y_1, \ldots, Y_n)$ est de codimension finie dans $S$.

(iv) Pour toute extension $\overline{K}$ de $K$, le système d’équations $Y_i(x_1, \ldots, x_n) = 0$ ($1 \leq i \leq n$, $x_i \in \overline{K}$) n’a que la solution triviale $(0, \ldots, 0)$.

((i) $\iff$ (iii) résulte d’un théorème de Macaulay (Alg. comm.); (iii) $\iff$ (iv) résulte du théorème des zéros (Alg. comm., chap. V, § 3, no 3, prop. 2); (ii) $\iff$ (iii) est facile.)

Si ces propriétés sont vérifiées, montrer que les $Y_i$ sont algébriquement indépendants sur $K$, et que $S$ est un $R$-module libre de rang égal à $\prod_i \deg(Y_i)/\prod_i \deg(X_i)$.

b) Soit $G$ un groupe fini d’automorphismes de l’algèbre graduée $S$, soit $S^G$ la sous-algèbre de ses invariants, et soient $Y_1, \ldots, Y_n$ des éléments de $S^G$ vérifiant les conditions (i), ..., (iv) ci-dessus. Montrer que $S^G = K[Y_1, \ldots, Y_n]$ si et seulement si