Bài tập 6, § 5

Nhóm Lie và đại số Lie, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

*Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$ , $q$ là một lũy thừa của một số nguyên tố, $K = \mathbf{F}_q$ , $V = K^n$ , $G = \mathbf{GL}(n, K)$ và $G_1 = \mathbf{SL}(n, K)$ . Đồng nhất $G$ với nhóm $\mathbf{GL}(V)$ . Hơn nữa, ký hiệu bởi $S$ đại số $S(V) = K[X_1, \ldots, X_n]$ và bởi $R$ (resp. $R_1$ ) đại số con của $S$ gồm các phần tử bất biến dưới $G$ (resp. $G_1$ ).

a) Cho $e = (e_1, \ldots, e_n)$ là một dãy các số nguyên $\geq 0$ . Đặt

L_e = \det(X_i^{q^{e_j}}).

Đây là một phần tử của S. Hãy chỉ ra rằng

g.L_e = \det(g)L_e \quad \text{với mọi } g \in G.

(Nhận xét rằng, nếu

g.X_i = \sum_j a_{ij} X_j

, thì

g.X_i^{q^e} = \sum_j a_{ij} X_j^{q^{e_j}}

.) Đặc biệt,

L_e

thuộc

R_1

b) Cho $j \in [1, n]$ . Đặt

Z_j = \prod_{(a_{ij})} (X_j + \sum_{i > j} a_{ij} X_i),

tích lấy trên mọi họ

(a_{ij})_{j < i \leq n}

các phần tử của K. Đặt

T = \prod_{j=1}^n Z_j.

Hãy chỉ ra rằng T chia hết mọi

L_e

. Suy ra rằng

T = L_{e_n}

, trong đó

e_n = (0, 1, \ldots, n-1)

, và T là bất biến dưới

G_1

c) Ký hiệu bởi $e_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ) dãy $(0, 1, \ldots, i-1, i+1, \ldots, n)$ , và đặt $Y_i = L_{e_i}/T$ , xem b). Hãy chỉ ra rằng các $Y_i$ thuộc R và rằng $\deg(Y_i) = q^n - q^i$ .

d) Cho $S' = K[X_1, \ldots, X_{n-1}]$ , và cho $T', Y'_1, \ldots, Y'_{n-2}$ là các phần tử của $S'$ được xác định theo cùng cách như T, $Y_1, \ldots, Y_{n-1}$ (nhưng thay thế n bởi $n-1$ ). Cho $f : S \to S'$ là đồng cấu được xác định bởi

f(X_i) = X_i \quad (1 \leq i \leq n-1), \quad f(X_n) = 0.

Hãy chỉ ra rằng

f(T) = 0, \quad f(Y_1) = {T'}^{q(q-1)}, \quad f(Y_i) = {Y'_{i-1}}^q \quad \text{với } 2 \leq i \leq n-1.

e) Hãy chỉ ra rằng họ $(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$ thỏa mãn điều kiện (iv) của Bài tập 5. (Cho $x = (x_1, \ldots, x_n)$ là một không điểm của hệ $(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$ trong một mở rộng $\overline{K}$ của K. Vì $x$ là một không điểm của T, các $x_i$ thỏa mãn ít nhất một quan hệ tuyến tính không tầm thường với các hệ số trong K. Nếu cần, bằng cách biến đổi $x$ bởi một phần tử của $G_1$ , ta có thể giả sử rằng $x_n = 0$ . Kết luận bằng cách áp dụng d) và lập luận theo quy nạp trên $n$ .)

f) Hãy chỉ ra rằng $R_1 = K[T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$ , và rằng $T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}$ độc lập đại số ("Định lý Dickson" – áp dụng e) và Bài tập 5, nhận xét rằng cấp của $G_1$ bằng $\deg(T) = \sum_i \deg(Y_i)$ ).*

g) Chứng minh rằng $R = K[T^{q-1}, Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$ *

Solution

No solution has been written yet.