Exercice 6, § 5

Groupes et algèbres de Lie, V

*Soient $n$ un entier $\geq 1$ , $q$ une puissance d’un nombre premier, $K = \mathbf{F}_q$ , $V = K^n$ , $G = \mathbf{GL}(n, K)$ et $G_1 = \mathbf{SL}(n, K)$ . On identifie $G$ au groupe $\mathbf{GL}(V)$ . D’autre part, on note $S$ l’algèbre $S(V) = K[X_1, \ldots, X_n]$ et $R$ (resp. $R_1$ ) la sous-algèbre de $S$ formée des éléments invariants par $G$ (resp. par $G_1$ ).

a) Soit $e = (e_1, \ldots, e_n)$ une suite d’entiers $\geq 0$ . On pose :

L_e = \det(X_i^{q^{e_j}}).

C’est un élément de $S$ . Montrer que

g.L_e = \det(g)L_e \text{ pour tout } g \in G.

(Remarquer que, si $g.X_i = \sum_j a_{ij}X_j$ , on a $g.X_i^{q^e} = \sum_j a_{ij}X_j^{q^e}$ .) En particulier, $L_e$ appartient à $R_1$ .

(*) On trouvera une étude détaillée d’une telle représentation dans H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. II, Abschn. 15.

b) Soit $j \in \{1, n\}$ . Posons

Z_j = \prod_{(a_{ij})} (X_j + \sum_{i > j} a_{ij} X_i),

le produit étant étendu à toutes les familles

(a_{ij})_{j < i \leq n}

d’éléments de

K

. Soit

T = \prod_{j=1}^n Z_j.

Montrer que

T

divise tous les

L_e

. En déduire que

T = L_{e_n}

, avec

e_n = (0, 1, \ldots, n-1)

, et que

T

est invariant par

G_1

c) On désigne par $e_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ) la suite $(0, 1, \ldots, i-1, i+1, \ldots, n)$ , et l’on pose $Y_i = L_{e_i}/T$ , cf. b). Montrer que les $Y_i$ appartiennent à $R$ , et que l’on a $\deg(Y_i) = q^n - q^i$ .

d) Soit $S' = K(X_1, \ldots, X_{n-1})$ , et soient $T', Y'_1, \ldots, Y'_{n-2}$ les éléments de $S'$ définis comme $T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}$ (en remplaçant $n$ par $n-1$ ). Soit $f : S \to S'$ l’homomorphisme défini par :

f(X_i) = X_i \quad (1 \leq i \leq n-1), \qquad f(X_n) = 0.

Montrer que l’on a :

f(T) = 0, \qquad f(Y_1) = {T'}^{q(q-1)}, \qquad f(Y_i) = {Y'_{i-1}}^{q} \text{ pour } 2 \leq i \leq n-1.

e) Montrer que la famille $(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$ vérifie la condition (iv) de l’exerc. 5. (Soit $x = (x_1, \ldots, x_n)$ un zéro du système $(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$ dans une extension $\overline{K}$ de $K$ . Du fait que $x$ annule $T$ , les $x_i$ vérifient au moins une relation linéaire non triviale à coefficients dans $K$ . Quitte à transformer $x$ par un élément de $G_1$ , on peut donc supposer que $x_n = 0$ . Conclure en appliquant d) et en raisonnant par récurrence sur $n$ .)

f) Montrer que $R_1 = K[T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$ , et que $T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}$ sont algébriquement indépendants (« théorème de Dickson » — appliquer e) et l’exerc. 5 en remarquant que l’ordre de $G_1$ est égal à $\deg(T) = \sum_i \deg(Y_i))$ .

g) Montrer que $R = K[T^{q-1}, Y_1, \ldots, Y_{n-1}].*$

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