Bài tập 7, § 5

*Cho R là một vành địa phương chính quy (Đại số giao hoán, Chương VIII, § 5, no. 1), với iđêan cực đại m và trường thặng dư k. Cho G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của R, và cho $R' = R^G$ là vành con của R gồm các phần tử bất biến dưới tác động của G. Đây là một vành địa phương với iđêan cực đại $m' = m \cap R'$. Giả sử các điều sau:

(i) $R'$ là Noether và R là một $R'$-môđun hữu hạn kiểu.

(ii) Đồng cấu hợp thành $R' \to R \to k$ là toàn ánh.

Đặt $V = m/m^2$; đây là một không gian $k$-vectơ. Tác động của G trên R xác định một đồng cấu $\varepsilon : G \to \mathbf{GL}(V)$.

a) Cho $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của R có chiều cao 1 (Đại số giao hoán, Chương VII, § 1, no. 6) và cho $s \in G$ sao cho $s(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ và s tác động tầm thường trên $R/\mathfrak{p}$. Chứng minh rằng $\varepsilon(s)$ là một phản xạ giả của V. (Nhận xét rằng ảnh của $\mathfrak{p}$ trong $m/m^2$ có chiều 0 hoặc 1.)

b) Chứng minh rằng, nếu $R'$ là chính quy, nhóm con $\varepsilon(G)$ của $\mathbf{GL}(V)$ được sinh bởi các phản xạ giả, (Cho H là nhóm con của G được sinh bởi các phần tử mà ảnh của chúng qua $\varepsilon$ là một phản xạ giả, và cho $R^H$ là vành con của R gồm các phần tử bất biến dưới H. Dùng a) để chứng minh rằng không có iđêan nguyên tố nào của $R'$ có chiều cao 1 bị phân nhánh trong $R^H$; dùng sự kiện rằng $R^H$ là đóng nguyên toàn vẹn, suy ra bằng Định lý Thuần khiết$^{11}$ rằng $R' = R^H$, do đó $H = G$.)

c) Giả sử bây giờ rằng cấp của G nguyên tố cùng nhau với đặc số của $k$. Chứng minh rằng $\varepsilon$ là đơn ánh.

Cho $(m'_n)$ là lọc của $R'$ cảm sinh bởi lọc m-adic $(m^n)$ của R, và cho

là đồng cấu chính tắc của đại số phân bậc liên kết của $R'$ vào đại số phân bậc liên kết của R (Đại số giao hoán, Chương III, § 2). Chứng minh rằng i là đơn ánh, và ảnh của nó là vành con $\operatorname{gr}(R)^G$ của $\operatorname{gr}(R)$ gồm các phần tử bất biến dưới G.

d) Giữ lại các giả thiết và ký hiệu của c), và giả sử thêm rằng $\varepsilon(G)$ được sinh bởi các phản xạ giả. Nếu $l = \dim V$, cho $P_1, \ldots, P_l$ là các phần tử sinh thuần nhất độc lập đại số của đại số $k$-đại số $\operatorname{gr}(R)^G$ (các phần tử như vậy tồn tại theo Định lý 4 và sự kiện rằng $\operatorname{gr}(R)$ có thể được đồng nhất với đại số đối xứng của V); cho $p_1, \ldots, p_l$ là các cấp của chúng. Theo c), ta có thể tìm $x_i \in m'_{p_i}$ sao cho $\operatorname{gr}(x_i) = P_i$. Chứng minh rằng các $x_i$ sinh iđêan $m'$ và suy ra rằng $R'$ là chính quy.*