Exercice 7, § 5

Soit $R$ un anneau local régulier (Alg. comm.*), d’idéal maximal $m$ et de corps résiduel $k$. Soit $G$ un groupe fini d’automorphismes de $R$, et soit $R' = R^G$ le sous-anneau de $R$ formé des éléments invariants par $G$. C’est un anneau local d’idéal maximal $m' = m \cap R'$. On fait les hypothèses suivantes :

(i) $R'$ est noethérien, et $R$ est un $R'$-module de type fini.

(ii) Le composé $R' \to R \to k$ est surjectif. On pose $V = m/m^2$; c’est un $k$-espace vectoriel. L’action de $G$ sur $R$ définit un homomorphisme $\varepsilon : G \to \mathbf{GL}(V)$.

a) Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de hauteur 1 de $R$ (Alg. comm., chap. VII, § 1, no 6) et soit $s \in G$ tel que $s(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ et que $s$ opère trivialement dans $R/\mathfrak{p}$. Montrer que $\varepsilon(s)$ est une pseudo-réflexion de $V$. (Remarquer que l’image de $\mathfrak{p}$ dans $m/m^2$ est de dimension 0 ou 1.)

b) Montrer que, si $R'$ est régulier, le sous-groupe $\varepsilon(G)$ de $\mathbf{GL}(V)$ est engendré par des pseudo-réflexions. (Soit $H$ le sous-groupe de $G$ engendré par les éléments dont l’image par $\varepsilon$ est une pseudo-réflexion, et soit $R^H$ le sous-anneau de $R$ formé des éléments invariants par $H$. Montrer, grâce à a), qu’aucun idéal premier de hauteur 1 de $R'$ n’est ramifié dans $R^H$; comme $R^H$ est intégralement clos, en déduire au moyen du théorème de pureté (*) que $R' = R^H$, d’où $H = G$.)

c) On suppose maintenant que l’ordre de $G$ est premier à la caractéristique de $k$. Montrer que $\varepsilon$ est injectif.

(*) Cf. M. Auslander, On the purity of the branch locus, Amer. J. of Math., t. LXXXIV (1962), p. 116-125.

Soit $(m'_n)$ la filtration de $R'$ induite par la filtration $m$-adique $(m^n)$ de $R$, et soit

l’homomorphisme canonique du gradué associé à $R'$ dans celui associé à $R$ (Alg. comm., chap. III, § 2). Montrer que $i$ est injectif, et que son image est le sous-anneau $\operatorname{gr}(R)^G$ de $\operatorname{gr}(R)$ formé des éléments invariants par $G$.

d) On conserve les hypothèses et notations de $c$), et l’on suppose en outre que $\varepsilon(G)$ est engendré par des pseudo-réflexions. Si $l = \dim V$, soient $P_1, \ldots, P_l$ des générateurs homogènes algébriquement indépendants de la $k$-algèbre $\operatorname{gr}(R)^G$ (de tels éléments existent, d’après le th. 4, et le fait que $\operatorname{gr}(R)$ s’identifie à l’algèbre symétrique de $V$); soient $p_1, \ldots, p_l$ leurs degrés. D’après $c$), on peut trouver des $x_i \in m'_{p_i}$ tels que $\operatorname{gr}(x_i) = P_i$. Montrer que les $x_i$ engendrent l’idéal $m'$ et en déduire que $R'$ est régulier.*