Bài tập 9, § 5

Cho $V$ là một không gian vectơ có chiều 4 trên một trường hữu hạn $K$, có đặc số khác 2, và cho $Q$ là một dạng toàn phương không suy biến trên $V$ có chỉ số 2 (\emph{Đại số}, Chương IX, § 4, no. 2). Cho $G = O(Q)$ là nhóm trực giao của dạng này; đây là một nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ (\emph{loc. cit.}, § 6, no. 4, Prop. 5).

a) Cho $E$ là một không gian con cực đại toàn đẳng hướng của $V$, và cho $G_E$ là nhóm con của $G$ gồm các phần tử $g$ sao cho $g(x) = x$ với mọi $x \in E$. Chứng minh rằng $G_E$ đẳng cấu với nhóm cộng của $K$, và không chứa phản xạ giả.

b) Chứng minh rằng đại số các bất biến đối xứng của $G$ không phải là một đại số đa thức phân bậc (sử dụng bài tập trước).