Exercice 9, § 5

Soit V un espace vectoriel de dimension 4 sur un corps fini K, de caractéristique différente de 2, et soit Q une forme quadratique non dégénérée sur V, d’indice 2 (Alg., chap. IX, § 4, n° 2). Soit $G = O(Q)$ le groupe orthogonal de cette forme; c’est un groupe fini, engendré par des réflexions (loc. cit., § 6, n° 4, prop. 5).

a) Soit E un sous-espace totalement isotrope maximal de V, et soit $G_E$ le sous-groupe de G formé des éléments $g$ tels que $g(x) = x$ pour tout $x \in E$. Montrer que $G_E$ est isomorphe au groupe additif de K, et ne contient aucune pseudo-réflexion.

b) Montrer que l’algèbre des invariants symétriques de G n’est pas une algèbre graduée de polynômes (utiliser l’exercice précédent).