Bài tập 4, § 4

Cho $R$ là một hệ căn rút gọn bất khả quy trong $V$. $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ là một cơ sở của $R$, $\tilde{\alpha}$ là nghiệm cao nhất. Đặt $\tilde{\alpha} = n_1 \alpha_1 + \cdots + n_l \alpha_l$. Ta sẽ xác định các tập con đóng, đối xứng cực đại của $R$, khác với $R$.

a) Cho $i \in \{1, 2, \ldots, l\}$. Gọi $R_i$ là tập hợp các $\alpha \in R$ là các tổ hợp tuyến tính của các $\alpha_j$ với $j \neq i$. Chứng minh rằng $R_i$ là cực đại khi và chỉ khi $n_i = 1$.

(1) M. Kneser đã chỉ ra rằng mọi "đẳng cấu ngoại lệ" giữa các nhóm cổ điển hữu hạn đều có thể thu được bằng cách sử dụng một phương pháp tương tự. Xem Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen klassischen Gruppen, Hamburger Abh., Vol. XXXI (1967), p. 136-140.

b) Cho $i \in \{1, 2, \ldots, l\}$ và giả sử rằng $n_i > 1$. Gọi $S_i$ là tập hợp các nghiệm $\sum_{j=1}^l m_j \alpha_j$ với $m_i \equiv 0 \pmod{n_i}$. Chứng minh rằng $S_i$ là cực đại khi và chỉ khi $n_i$ là nguyên tố. (Nếu $n_i = ab$ với $a > 1, b > 1$, xét tập con $S'$ của $R$ gồm các nghiệm $\sum_j m_j \alpha_j$ với $m_i \equiv 0 \pmod{a}$, và chứng minh rằng $S'$ chứa thực sự $S_i$.) Chứng minh rằng các nghiệm $-\tilde{\alpha}, \alpha_j \ (j \neq i)$ tạo thành một cơ sở của $S_i$ (có hạng $l$). Suy ra đồ thị Dynkin của $S_i$.

c) Mọi tập con đóng, đối xứng cực đại của $R$ đều được biến đổi bởi một phần tử của $W(R)$ thành một trong các tập con được mô tả trong $a$ hoặc $b$. (Cho $\Sigma$ là một tập con như vậy. Khi đó $\Sigma = R \cap H$, trong đó $H$ là một nhóm con của $Q(R)$ có chỉ số hữu hạn ($§ 1$, Exerc. 6 b)); ta có thể giả sử rằng $Q(R)/H$ là cyclic. Khi đó tồn tại $u^* \in V^*$ sao cho $\Sigma$ là tập hợp các $\alpha \in R$ sao cho $\langle u^*, \alpha \rangle \in \mathbf{Z}$.

d) Liệt kê các tập con đóng, đối xứng cực đại của $R$ đối với các kiểu khác nhau của các hệ căn rút gọn bất khả quy.