Exercice 4, § 4

Soient R un système de racines irréductible et réduit dans V, ($\alpha_1, \ldots, \alpha_l$) une base de R, $\tilde{\alpha}$ la plus grande racine. On pose $\tilde{\alpha} = n_1 \alpha_1 + \cdots + n_l \alpha_l$. On se propose de déterminer les parties closes et symétriques de R, distinctes de R, et maximales pour ces propriétés.

a) Soit $i \in \{1, 2, \ldots, l\}$. Soit Rᵢ l’ensemble des $\alpha \in R$ qui sont combinaisons linéaires des $\alpha_j$ pour $j \neq i$. Montrer que Rᵢ est maximal si et seulement si $n_i = 1$.

b) Soit $i \in \{1, 2, \ldots, l\}$ et supposons que $n_i > 1$. Soit Sᵢ l’ensemble des racines $\sum_{j=1}^{l} m_j \alpha_j$ avec $m_i \equiv 0 \pmod{n_i}$. Montrer que Sᵢ est maximal si et seulement si $n_i$ est premier. (Si $n_i = ab$ avec $a > 1, b > 1$, considérer la partie S’ de R formée des racines $\sum_{j} m_j \alpha_j$ avec $m_i \equiv 0 \pmod{a}$, et montrer que S’ contient strictement Sᵢ.) Montrer que les racines $-\tilde{\alpha}, \alpha_j (j \neq i)$ forment une base de Sᵢ (qui est de rang l). En déduire le graphe de Dynkin de Sᵢ.

c) Toute partie close, symétrique et maximale de R est transformée par un élément de W(R) de l’une des parties décrites en a) ou b). (Soit $\Sigma$ une telle partie. On a $\Sigma = R \cap H$, où H est

(*) M. Kneser a montré qu’une méthode analogue permet d’obtenir tous les isomorphismes « exceptionnels » entre groupes classiques finis. Cf. Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen endlichen klassischen Gruppen, Hamburger Abh., t. XXXI (1967), p. 136-140.

un sous-groupe d’indice fini de $Q(R)$ ($§ 1$, exerc. 6 b); on peut supposer que $Q(R)/H$ est cyclique. Il existe donc un $u^* \in V^*$ tel que $\Sigma$ soit l’ensemble des $\alpha \in R$ tels que $\langle u^*, \alpha \rangle \in \mathbf{Z}$. On ne change pas $\Sigma$ en ajoutant à $u$ un élément de $Q(R^\vee)$. Utilisant $W_a(R)$, montrer qu’on peut prendre $u^*$ tel que $\langle u^*, \alpha_i \rangle \geqslant 0, \langle u^*, \tilde{\alpha} \rangle \leqslant 1$. Soit $u_i = \langle u^*, \alpha_i \rangle$. Si deux des $u_i$ sont $\neq 0$, $\Sigma$ n’est pas maximal.)

d) Donner la liste des parties closes symétriques maximales de $R$ pour les différents types de systèmes de racines irréductibles réduits.