Bài tập 6, § 4

Cho $R$ là một hệ căn rút gọn bất khả quy, $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ là một cơ sở của $R$, $p_1 \alpha_1 + \cdots + p_l \alpha_l$ là nghiệm cao nhất, $a_1 \alpha_1 + \cdots + a_l \alpha_l$ là tổng của các nghiệm dương, $m_1, \ldots, m_l$ là các số mũ của $W(R)$, $g$ là cấp của nó, $f$ là chỉ số liên thông.

a) Hãy kiểm tra rằng, trong mỗi trường hợp,

b) Chứng minh rằng

(Dùng $a$ và Mệnh đề 7 của $§ 2$, no. 4.)

c) Với mọi nghiệm dương $\alpha = \sum_i c_i \varphi_i$, đặt $e(\alpha) = \sum_i c_i$. Hãy tính trong mỗi trường hợp đa thức

Hãy kiểm tra$^5$ rằng $P(t) = t \sum_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i-1})$.

$^5$ Để có một chứng minh không sử dụng phân loại, xem: B. KOSTANT, Nhóm con ba chiều chính và các số Betti của một nhóm Lie phức đơn, Amer. J. of Math.s., Vol. LXXXI (1959), p. 973-1032.