Exercice 6, § 4

Soient $R$ un système de racines irréductible et réduit, $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ une base de $R$, $p_1 \alpha_1 + \cdots + p_l \alpha_l$ la plus grande racine, $a_1 \alpha_1 + \cdots + a_l \alpha_l$ la somme des racines positives, $m_1, \ldots, m_l$ les exposants de $W(R)$, $g$ son ordre, $f$ l’indice de connexion.

a) Vérifier dans chaque cas que

b) Montrer que

(Utiliser $a$) et la prop. 7 du $§ 2$, no 4.)

c) Pour toute racine positive $\alpha = \sum_i c_i \alpha_i$, soit $e(\alpha) = \sum_i c_i$. Calculer dans chaque cas le polynôme

Vérifier (*) que l’on a $P(t) = t \sum_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i-1})$.