Bài tập 5, § 3

a) Chứng minh rằng tồn tại một đại số Lie $\mathfrak{g}$ trên $k$ với cơ sở $(x, y, z, t)$ sao cho

Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ là giải được và rằng $\mathfrak{k}=kx+ky+kz$ là một đại số con của $\mathfrak{g}$.

b) Chứng minh rằng các tự đẳng cấu sơ cấp của $\mathfrak{g}$ là các ánh xạ có dạng $1 +\lambda$ ad$_{\mathfrak{g}}y+\mu$ ad$_{\mathfrak{g}}t$ trong đó $\lambda , \mu\in k$.

c) Chứng minh rằng 1 + ad$_{\mathfrak{k}}x$ là một tự đẳng cấu sơ cấp của $\mathfrak{k}$ mà không mở rộng được thành một tự đẳng cấu sơ cấp của $\mathfrak{g}$.

d) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số con nửa đơn của một đại số Lie $\mathfrak{a}$. Chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu sơ cấp của $\mathfrak{s}$ đều mở rộng được thành một tự đẳng cấu sơ cấp của $\mathfrak{a}$.