Exercice 5, § 3

a) Montrer qu’il existe une algèbre de Lie $g$ sur $k$ admettant une base $(x, y, z, t)$ telle que

Montrer que $g$ est résoluble et que $\mathfrak{k} = kx + ky + kz$ est une sous-algèbre de $g$. b) Montrer que les automorphismes élémentaires de $g$ sont les applications de la forme $1 + \lambda \operatorname{ad}_h y + \mu \operatorname{ad}_h t$ où $\lambda, \mu \in k$. c) Montrer que $1 + \operatorname{ad}_t x$ est un automorphisme élémentaire de $\mathfrak{k}$ qui ne se prolonge pas en un automorphisme élémentaire de $g$. d) Soit $s$ une sous-algèbre semi-simple d’une algèbre de Lie $a$. Montrer que tout automorphisme élémentaire de $s$ se prolonge en un automorphisme élémentaire de $a$.