Bài tập 7, § 5

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie con của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$. Cho $m, n$ là hai số nguyên $\geq 0, W$ và $W'$ là hai không gian con vectơ của $\mathbf{T}^m(V)\otimes \mathbf{T}^n(V^*)$ trong đó $V^*$ là đối ngẫu của V. Giả sử rằng $W'\subset W$ và rằng W và $W'$ ổn định dưới biểu diễn tự nhiên của $\mathfrak{g}$ trên $\mathbf{T}^m(V)\otimes \mathbf{T}^n(V^*)$. Chứng minh rằng khi đó W và $W'$ ổn định dưới $e(\mathfrak{g})$. Nếu $\pi$ ký hiệu biểu diễn của $e(\mathfrak{g})$ trên $W/W'$ thu được như vậy, hãy chứng minh rằng $\pi e(\mathfrak{g})$ là bao phân tích được của $\pi (\mathfrak{g})$ (dùng Định lý 1).

Suy ra rằng ad $e(\mathfrak{g})$ là bao phân tích được của ad$\mathfrak{g}$ trong $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$.

$^8$ Để biết thêm chi tiết, xem C. CHEVALLEY, Théorie des groupes de Lie, II, Groupes algébriques, Chap. II, §14, Paris, Hermann, 1951.