Exercice 7, § 5

Soit $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$. Soient $m, n$ deux entiers $\geqslant 0$, $W$ et $W'$ deux sous-espaces vectoriels de $T^m(V) \otimes T^n(V^*)$ où $V^*$ est le dual de $V$. On suppose que $W' \subset W$ et que $W$ et $W'$ sont stables par la représentation naturelle de $g$ dans $T^m(V) \otimes T^n(V^*)$. Montrer que $W'$ et $W$ sont alors stables par $e(g)$. Si l’on note $\pi$ la représentation de $e(g)$ dans $W/W'$ ainsi obtenue, montrer que $\pi e(g)$ est l’enveloppe scindable de $\pi(g)$ (utiliser le th. 1). En déduire que ad $e(g)$ est l’enveloppe scindable de ad $g$ dans $\mathfrak{gl}(g)$.