(i) Les composantes semi-simple et nilpotente de $\mathrm{ad}_g x$ sont respectivement $\mathrm{ad}_g s$ et $\mathrm{ad}_g n$.

(ii) Pour que $x$ soit régulier dans $g$, il faut et il suffit que $s$ le soit.

(iii) Si $g'$ est une sous-algèbre de $\mathfrak{gl}(V)$ contenant $g$, tout automorphisme élémentaire de $g$ se prolonge en un automorphisme élémentaire de $g'$.

Posons $a = \mathfrak{gl}(V)$. D'après I, § 5, no 4, lemme 2, les composantes semi-simple et nilpotente de $\mathrm{ad}_a x$ sont $\mathrm{ad}_a s$ et $\mathrm{ad}_a n$; l'assertion (i) résulte de là. On en déduit que les polynômes caractéristiques de $\mathrm{ad}_g x$ et $\mathrm{ad}_g s$ sont les mêmes; d’où (ii). Si $\mathrm{ad}_g x$ est nilpotent, on a $\mathrm{ad}_g x = \mathrm{ad}_g n$, donc $\mathrm{ad}_{g'} n$ prolonge $\mathrm{ad}_g x$, et $n$ est un élément nilpotent de $g'$, d’où (iii).

Soit $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$. On sait (I, § 6, no 5, th. 4) que les conditions suivantes sont équivalentes: (i) la représentation identique de $g$ est semi-simple; (ii) $g$ est réductive et tout élément du centre de $g$ est un endomorphisme semi-simple. Ces conditions sont encore équivalentes à la suivante: (iii) $g$ est une sous-algèbre réductive dans $\mathfrak{gl}(V)$. En effet, (i) $\Rightarrow$ (iii) d’après I, § 6, no 5, cor. 3 du th. 4, et (iii) $\Rightarrow$ (i) d’après I, § 6, no 6, cor. 1 de la prop. 7. Nous allons voir que si $g$ vérifie ces conditions, $g$ est scindable. Plus généralement:

Soit $s = [g, g]$ et soit $c$ le centre de $g$. On a $g = s \times c$, et $\pi(g) = \pi(s) \times \pi(c)$ d’après I, § 6, no 4, cor. de la prop. 5. Soient $y \in s$, $z \in c$, $y_s$ et $y_n$ les composantes semi-simple et nilpotente de $y$. Alors $y_s, y_n \in s$ (I, § 6, no 3, prop. 3), $y_s + z$ est semi-simple (A, VII, § 5, no 7, cor. de la prop. 16), et $y_n$ commute à $y_s + z$. Donc les composantes semi-simple et nilpotente de $y + z$ sont $y_s + z$ et $y_n$. Ainsi, $g$ est scindable. Comme $\pi(g)$ est réductive dans $\mathfrak{gl}(E)$, le même argument s’applique à $\pi(g)$ et montre que $\pi(g)$ est scindable. En outre, les éléments nilpotents de $g$ (resp. $\pi(g)$) sont les éléments nilpotents de $s$ (resp. $\pi(s)$). Donc les éléments nilpotents de $\pi(g)$ sont les images par $\pi$ des éléments nilpotents de $g$ (I, § 6, no 3, prop. 4). Les éléments semi-simples de $g$ (resp. $\pi(g)$) sont les sommes d’éléments semi-simples de $s$ (resp. $\pi(s)$) et d’éléments de $c$ (resp. $\pi(c)$). Donc les éléments semi-simples de $\pi(g)$ sont les images par $\pi$ des éléments semi-simples de $g$ (I, loc. cit.). D’où (ii).

Les assertions (iii) et (iv) résultent immédiatement de (i) et (ii).

Posons $g = \mathfrak{gl}(V)$; la sous-algèbre $h'$ de $\mathfrak{gl}(g)$ formée des $z \in \mathfrak{gl}(g)$ tels que $z(c) \subset b$ est scindable (Exemple 1). Soit $\pi : g \to \mathfrak{gl}(g)$ la représentation adjointe de $g$. La prop. 2 (iv), appliquée à $\pi$, montre que $\pi^{-1}(h')$ est scindable. Il en est donc de même de $a' = a \cap \pi^{-1}(h')$.

Cela résulte de la prop. 3 en prenant $c = n$, $b = n$ (resp. $c = n$, $b = \{0\}$).

Cela résulte du corollaire 1.

Soit $g_1$ l’ensemble des $x \in \mathfrak{gl}(V)$ tels que $[x, n] \subset [g, n]$. C’est une sous-algèbre de Lie scindable de $\mathfrak{gl}(V)$, contenant $g$ donc $e(g)$, cf. n° 1, prop. 3 ; autrement dit, $[e(g), n] \subset [g, n]$. Soit $n_1$ l’ensemble des $y \in gl(V)$ tels que

C’est une sous-algèbre de Lie scindable de $gl(V)$ contenant $n$ d’après ce qui précède, donc contenant $e(n)$; autrement dit $[e(g), e(n)] \subset [g, n]$, d’où On en déduit $[e(g), n] \subset [e(g), e(n)] \subset n$, de sorte que $n$ et $e(n)$ sont des idéaux de $e(g)$.

Soit $t \in \mathscr{T}_1$, et posons $c = \psi(t)$. Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $c$. D’après le § 2, no 3, prop. 10, on a $\mathfrak{h} \in \mathscr{H}$ et $t \subset \mathfrak{h}$. Posons $t_1 = \varphi(\mathfrak{h}) \in \mathscr{T}$. On a $t \subset t_1$ donc $t = t_1$, et $\mathfrak{h} = \psi(t_1) = \psi(t) = c$ d’après ce qui précède. Ainsi, $\psi(t) \in \mathscr{H}$, et $\varphi(\psi(t)) = t$.

On a donc prouvé (i), (ii), (iii). Supposons $k$ algébriquement clos. Comme $\mathrm{Aut}_e(g)$ opère transitivement sur $\mathscr{H}$ ($§ 3$, no 2, th. 1), $\mathrm{Aut}_e(g)$ opère transitivement sur $\mathscr{T}_1$.

Si $x \in g$ est régulier, $g^0(x)$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$ ($§ 2$, no 3, th. 1 (i)); si en outre $x$ est semi-simple, $g^0(x)$ est le centralisateur de $x$ dans $g$. Réciproquement, soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. Il existe $t \in \mathscr{T}_1$, tel que $\mathfrak{h} = \psi(t)$. D’après le $§ 1$, no 2, prop. 7, il existe $x \in t$ tel que $\mathfrak{h} = g^0(x)$; puisque $x \in t$, on a $g^0(x) = g_0(x)$. Alors $x$ est régulier ($§ 3$, no 3, th. 2 (ii)).

(i) *Le sous-groupe de $\mathrm{Aut}(g)$ formé des $e^{\mathrm{ad}\,x}$, $x \in \mathscr{C}^\infty g$ (cf. $§ 3$, no 4), opère transitive-ment dans $\mathscr{T}_1$.

(ii) Si $t \in \mathscr{T}_1$, $g$ est produit semi-direct de $t$ et de $n_V(g)$.

L’assertion (i) résulte de ce que le groupe des $e^{\mathrm{ad}\,x}$, $x \in \mathscr{C}^\infty g$, opère transitive-ment dans $\mathscr{H}$ ($§ 3$, no 4, th. 3).

Prouvons (ii). Soit $t \in \mathscr{T}_1$, et soit $\mathfrak{h} = \psi(t)$ la sous-algèbre de Cartan correspondante de $g$. Vu la prop. 5, on a $\mathfrak{h} = t + n_V(\mathfrak{h}) \subset t + n_V(g)$. On a d’autre part $g = \mathfrak{h} + [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ ($§ 2$, no 1, cor. 3 de la prop. 4) et $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] \subset n_V(g)$, d’où $g = t + n_V(g)$. D’autre part, il est clair que $t \cap n_V(g) = \{0\}$. L’algèbre $g$ est donc bien produit semi-direct de $t$ par l’idéal $n_V(g)$.

(i) Il existe une sous-algèbre de Lie $m$ de $g$, réductive dans $\mathrm{gl}(V)$, telle que $g$ soit produit semi-direct de $m$ et de $n_V(g)$.

(ii) Deux sous-algèbres de Lie de $g$ ayant les propriétés de (i) sont conjuguées par $\mathrm{Aut}_e(g)$.

Le radical $r$ de $g$ est scindable (no 2, cor. 2 de la prop. 4). D’après le cor. 2 à la prop. 6, il existe une sous-algèbre commutative $t$ de $r$, formée d’éléments semi-simples, telle que $r = t \oplus n_V(r)$. Comme $\mathrm{ad}_g t$ est formée d’éléments semi-simples, $g$ est somme directe de $[t, g]$ et du centralisateur $\mathfrak{s}$ de $t$ (I, $§ 3$, no 5, prop. 6). Comme $[t, g] \subset r$, on a $g = \mathfrak{s} + r$. Par suite, si $s$ est une sous-algèbre de Levi de $\mathfrak{z}$ (I, § 6, n° 8), on a $g = s + r$, de sorte que $s$ est une sous-algèbre de Levi de $g$. Posons $m = s \oplus t$. Comme $[s, t] = \{0\}$, $m$ est une sous-algèbre de Lie de $g$, réductive dans $\mathrm{gl}(V)$ d’après I, § 6, n° 5, th. 4. En outre,

puisque $n_V(g) = n_V(r)$. D’où (i).

Soit maintenant $m'$ une sous-algèbre de Lie de $g$ supplémentaire de $n_V(g)$ et réductive dans $\mathrm{gl}(V)$. Montrons que $m'$ est conjuguée de $m$ par $\mathrm{Aut}_e(g)$. On a $m' = s' \oplus t'$ où $s' = [m', m']$ est semi-simple, et où le centre $t'$ de $m'$ est formé d’éléments semi-simples. Alors $r = t \oplus n_V(g) = t' \oplus n_V(g)$. Compte tenu du cor. 2 à la prop. 6, on est ramené au cas où $t = t'$. Alors $s' \subset \mathfrak{z}$; comme $\dim s' = \dim s$, $s'$ est une sous-algèbre de Levi de $\mathfrak{z}$. D’après I, § 6, n° 8, th. 5, il existe $x \in n_V(\mathfrak{z})$ tel que $e^{\mathrm{ad}\, x}(s) = s'$; comme $x$ commute à $t$, on a en même temps $e^{\mathrm{ad}\, x}(t) = t$.

(i) Soient $\rho$ une représentation linéaire de dimension finie de $n$ dans $W$, telle que les éléments de $\rho(n)$ soient nilpotents, $W'$ un sous-espace vectoriel de $W$ stable pour $\rho, \rho_1$ et $\rho_2$ la sous-représentation et la représentation quotient de $\rho$ définies par $W'$, $\pi, \pi_1, \pi_2$ les représentations de $N$ compatibles avec $\rho, \rho_1, \rho_2$ (§ 3, n° 1). Alors $\pi_1, \pi_2$ sont la sous-représentation et la représentation quotient de $\pi$ définies par $W'$.

(ii) Soient $\rho_1, \rho_2$ des représentations linéaires de dimension finie de $n$ telles que les éléments de $\rho_1(n)$ et de $\rho_2(n)$ soient nilpotents, et $\pi_1, \pi_2$ les représentations de $N$ compatibles avec $\rho_1, \rho_2$. Alors $\pi_1 \otimes \pi_2$ est la représentation de $N$ compatible avec $\rho_1 \otimes \rho_2$.

(iii) Soient $\rho_1, \rho_2$ des représentations linéaires de dimension finie de $n$ dans des espaces vectoriels $V_1, V_2$, telles que les éléments de $\rho_1(n)$ et de $\rho_2(n)$ soient nilpotents, $\rho$ la représentation de $n$ dans $\mathrm{Hom}(V_1, V_2)$ déduite de $\rho_1, \rho_2$. Soient $\pi_1, \pi_2$ les représentations de $N$ compatibles avec $\rho_1, \rho_2$, et $\pi$ la représentation de $N$ dans $\mathrm{Hom}(V_1, V_2)$ déduite de $\pi_1, \pi_2$. Alors $\pi$ est la représentation de $N$ compatible avec $\rho$.

L’assertion (i) est évidente. Soient $\rho_1, \rho_2, \pi_1, \pi_2$ comme dans (ii). Si $x \in n$, on a, puisque $\rho_1(x) \otimes 1$ et $1 \otimes \rho_2(x)$ commutent,

d’où (ii). Soient $\rho_1, \rho_2, \rho, \pi_1, \pi_2, \pi, V_1, V_2$ comme dans (iii). Si $v_1 \in \mathrm{End}\, V_1$ et $v_2 \in \mathrm{End}\ V_2$, notons $R_{v_1}, L_{v_2}$ les applications $u \mapsto uv_1, u \mapsto v_2u$ de $\mathrm{Hom}(V_1, V_2)$ dans lui-même; ces applications commutent et $\rho(x)u = (L_{\rho_2(x)} - R_{\rho_1(x)})u$, donc

d'où (iii).

Lemme 2.1. — (i) Soient W un sous-espace vectoriel de V de dimension d, D la droite $\wedge^d W \subset \wedge^d V$, $\theta$ la représentation canonique de $\mathfrak{gl}(V)$ dans $\wedge V$ (III, App.). Soit $x \in \mathfrak{gl}(V)$. Alors $x(W) \subset W$ si et seulement si $\theta(x)(D) \subset D$.

(ii) Soient $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $k^n$, $\theta$ la représentation canonique de $\mathfrak{gl}(n, k)$ dans $\wedge(k^n)$, et $x \in \mathfrak{gl}(n, k)$. Alors $x \in \mathfrak{n}(n, k)$ si et seulement si

pour $1 \leq d \leq n$.

(i) Si $x(W) \subset W$, il est clair que $\theta(x)D \subset D$. Inversement, supposons que $\theta(x)D \subset D$. Soit $u$ un élément non nul de $D$ et soit $y \in W$. On a $y \wedge u = 0$. Puisque $\theta(x)$ est une dérivation de $\wedge V$, ceci entraîne

Or $\theta(x)u \in ku$, d'où $y \wedge \theta(x)u = 0$ et par suite $\theta(x)y \wedge u = 0$. D'après A, III, p. 89, prop. 13, cela entraîne $\theta(x)y \in W$, i.e. $x(y) \in W$, ce qui prouve bien que $x(W) \subset W$.

(ii) La condition énoncée en (ii) est évidemment nécessaire pour que $x \in \mathfrak{n}(n, k)$. Supposons qu'elle soit vérifiée. D'après (i), $x$ laisse stable

et cela pour $d = 1, \ldots, n$, donc $x$ est triangulaire inférieure. Posons On a $0 = x(e_n) = x_{nn}e_n$, donc $x_{nn} = 0$. Soit $i < n$, et supposons prouvé que $x_{jj} = 0$ pour $j > i$. Alors donc $x_{ii} = 0$. On voit ainsi que $x \in \mathfrak{n}(n, k)$.

1 Dans ce lemme, k peut être un corps commutatif quelconque.

(ii) F est stable par $\rho(q)$; (iii) n est l’ensemble des $x \in \mathfrak{gl}(V)$ tels que $\rho(x)(F) = 0$.

Soit $n = \dim V$. D’après le th. d’Engel, on peut identifier V à $k^n$ de telle sorte que $n \subset n(n, k)$. Soit P l’algèbre des fonctions polynomiales sur $\mathfrak{gl}(n, k)$. Pour $i = 0, 1, \ldots$, soit $P_i$ l’ensemble des éléments de P homogènes de degré $i$. Soit N = exp n, qui est un sous-groupe du groupe trigonal strict inférieur T. Soit J l’ensemble des éléments de P qui sont nuls sur N ; c’est un idéal de P. Soit $N_J$ l’ensemble des $x \in \mathfrak{gl}(n, k)$ tels que $p(x) = 0$ pour tout $p \in J$. On a $N \subset N_J$. Inversement, soit $x \in N_J$. Notons $p_{ij}$ les fonctions polynomiales donnant les composantes d’un élément de $\mathfrak{gl}(n, k)$. L’idéal J contient les $p_{ij}$ (pour $i < j$) et les $p_{ii} - 1$; on a donc $x \in T$. D’autre part, si $u$ est une forme linéaire sur $\mathfrak{gl}(n, k)$ nulle sur n, il existe $p_u \in P$ tel que $p_u(z) = u(\log z)$ pour tout $z \in T$ (§ 3, no 1, lemme 1 (i)); on a $p_u \in J$, d’où $u(\log x) = 0$. On en déduit que $\log x$ appartient à n, d’où $x \in N$, ce qui prouve que $N = N_J$.

Pour tout $p \in P$ et $g \in \mathbf{GL}_n(k)$, soit $\lambda(g)p$ la fonction $x \mapsto p(g^{-1}x)$ sur $\mathfrak{gl}(n, k)$; on a $\lambda(g)p \in P$, $\lambda(g)$ est un automorphisme de l’algèbre P, et $\lambda$ est une représentation de $\mathbf{GL}_n(k)$ dans P qui laisse stable chaque $P_i$. Montrons que

(1)

Si $x \in N$, $p \in J$, $y \in N$, on a $(\lambda(x)p)(y) = p(x^{-1}y) = 0$ puisque $x^{-1}y \in N$; donc $\lambda(x)p \in J$, de sorte que $\lambda(x)J = J$. Soit $x \in \mathbf{GL}_n(k)$ tel que $\lambda(x)J = J$; soit $p \in J$; on a $p(x^{-1}) = (\lambda(x)p)(e) = 0$, donc $x^{-1} \in N_J = N$ et $x \in N$. Cela prouve (1).

L’idéal J est de type fini (AC, III, § 2, no 10, cor. 2 du th. 2). Il existe donc un entier q tel que, si $W = P_0 + P_1 + \cdots + P_q$, alors $J \cap W$ engendre J comme idéal. Notons $\lambda_j$ (resp. $\lambda'$) la sous-représentation de $\lambda$ définie par $P_j$ (resp. par W). D’après (1), on a:

(2)

Montrons que, pour tout $j$, il existe une représentation $\sigma_j$ de l’algèbre de Lie $\mathfrak{gl}(n, k)$ dans $P_j$, telle que:

(3)

(4) Pour tout $x \in k.l_n$, $\sigma_j(x)$ est une homothétie.

Comme $\lambda_j$ est la puissance symétrique $j$-ième de $\lambda_1$, il suffit de montrer l’existence de $\sigma_1$, cf. lemme 1. Or $\lambda_1$ est la représentation contragrédiente de la représentation $\gamma$ de $\mathbf{GL}_n(k)$ dans $\mathfrak{gl}(n, k)$ donnée par

Soit c la représentation de l’algèbre de Lie $\mathfrak{gl}(n, k)$ dans $\mathfrak{gl}(n, k)$ donnée par On vérifie aussitôt que $c|_{n(n, k)}$ et $\gamma|T$ sont compatibles, et que $c(x)$ est une homothétie pour tout $x \in k . 1_n$. Il suffit alors de prendre pour $\sigma_1$ la représentation duale de $c$ (I, § 3, n° 3).

Soit maintenant $\sigma'$ la représentation de $\mathfrak{gl}(n, k)$ dans $W$ somme directe des $\sigma_j, 0 \leq j \leq q$. Vu (2), et les relations

on a (5) Soit $d = \dim(J \cap W)$, et soit $\tau = \wedge^d \sigma'$. Soit $D = \wedge^d(J \cap W)$. D’après (5) et le lemme 2 (i), on a (6) Mais $\tau(n(n, k))$ est formé d’endomorphismes nilpotents, donc (6) peut aussi s’écrire (7) Soit alors $E = \wedge^d W \oplus \wedge^1 V \oplus \wedge^2 V \oplus \cdots \oplus \wedge^n V$; soit $\rho$ la somme directe de $\tau$ et des représentations canoniques de $\mathfrak{gl}(n, k)$ dans $\wedge^1 V, \ldots, \wedge^n V$. Soit $E_0 \subset E$ la somme de $D = \wedge^d(J \cap W)$ et des droites engendrées par $e_{n-j+1} \wedge \cdots \wedge e_n$ pour $j = 1, \ldots, n$. D’après (7) et le lemme 2 (ii), on a (8) Il est immédiat que, si $x \in k . 1$, $\rho(x)$ est diagonalisable. Enfin, si $F$ est l’ensemble des éléments de $E$ annulés par $\rho(n)$, $F$ est stable par $\rho(q)$ (I, § 3, n° 5, prop. 5), et l’on a, d’après (8), (9)