Bài tập 8, § 5

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ và $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng $e(\mathfrak{g}) =e(\mathfrak{h}) +\mathscr{D}\mathfrak{g}=e(\mathfrak{h}) +\mathfrak{g}$.

(Nhận xét rằng $e(\mathfrak{h})+\mathscr{D}\mathfrak{g}$ là phân tích được (Hệ quả 1 của Định lý 1), chứa $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\mathscr{D}\mathfrak{g}$, và được chứa trong $e(\mathfrak{g})$; do đó, nó là $e(\mathfrak{g}).$)

b) Ta có $e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}=\mathfrak{h}$ (nhận xét rằng $e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}$ là lũy linh).

c) Cho $x$ là một phần tử của chuẩn hóa tử của $e(\mathfrak{h})$ trong $e(\mathfrak{g})$. Chứng minh rằng $x\in e(\mathfrak{h})$. (Viết $x=y+z$ với $y\in e(\mathfrak{h}), z\in \mathfrak{g}$, xem $a$); nhận xét rằng $[z,\mathfrak{h}]\subset e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}=\mathfrak{h}$, do đó $z\in \mathfrak{h}.)$

d) Chứng minh rằng $e(\mathfrak{h})$ là một đại số con Cartan của $e(\mathfrak{g})$.