Exercice 8, § 5

Soient $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$ et $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. a) Montrer que $e(g) = e(h) + \mathscr{D}g = e(h) + g$. (Remarquer que $e(h) + \mathscr{D}g$ est scindable (cor. 1 au th. 1), contient $g = h + \mathscr{D}g$, et est contenue dans $e(g)$; c’est donc $e(g)$.) b) On a $e(h) \cap g = h$ (remarquer que $e(h) \cap g$ est nilpotente). c) Soit $x$ un élément du normalisateur de $e(h)$ dans $e(g)$. Montrer que $x \in e(h)$. (Ecrire $x = y + z$, avec $y \in e(h)$, $z \in g$, cf. a); remarquer que $[z, h] \subset e(h) \cap g = h$, d’où $z \in h$.) d) Montrer que $e(h)$ est une sous-algèbre de Cartan de $e(g)$.