Bài tập 9, § 5

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$. Hãy chứng minh rằng các điều kiện (i), (ii), (iii) của Bài tập 16 của §3 là tương đương với:

(v) $\mathfrak{g}$ là phân tích được và có cùng hạng với $\mathfrak{g}/\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$.

(Nếu $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, thì điều kiện “$\mathfrak{g}$ có cùng hạng với $\mathfrak{g}/\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}$)” là tương đương với việc nói rằng $\mathfrak{h}\cap \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) = 0$, tức là $\mathfrak{h}$ không có phần tử lũy linh nào $\not= 0$ (xem §2, Bài tập 14). Suy ra tính tương đương của (i) và (v).)