Exercice 9, § 5

Soit $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$. Montrer que les conditions (i), (ii), (iii) de l’exerc. 16 du § 3 sont équivalentes à : (v) $g$ est scindable et a même rang que $g/n_V(g)$. (Si $h$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$, la condition « $g$ a même rang que $g/n_V(g)$ » équivaut à dire que $h \cap n_V(g) = 0$, i.e. que $h$ n’a pas d’élément nilpotent $\neq 0$ (cf. § 2, exerc. 14). En déduire l’équivalence de (i) et de (v).)