Bài tập 18, § 1

Giả sử rằng $k=\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc một trường đầy đủ đối với một định giá rời rạc và có trường thặng dư có đặc số $p\not= 0$ (ví dụ một mở rộng hữu hạn của trường $p$-adic $\mathbf{Q}_p$).

a) Cho $\mathfrak{n}$ là một đại số Lie lũy linh, N là nhóm Lie thu được bằng cách trang bị cho $\mathfrak{n}$ luật Hausdorff (Chap. III, §9, no. 5), và $\rho :\mathfrak{n}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$ là một biểu diễn tuyến tính của $\mathfrak{n}$ trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E. Giả sử rằng $\rho (x)$ là lũy linh với mọi $x\in \mathfrak{n}$, và đặt $\pi (x) =$ exp($\rho (x)$). Chứng minh rằng $\pi$ là đồng cấu duy nhất của các nhóm Lie $\varphi : N\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ sao cho $L(\varphi ) =\rho$.

(Khi $k=\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, dùng sự kiện rằng N là liên thông. Khi $k$ là siêu mêtric, chứng minh rằng các giá trị riêng của $\varphi (x),x\in N$, bằng 1; để làm điều này, trước hết chứng minh rằng, nếu $k'$ là một mở rộng hữu hạn của $k$, và nếu $(\lambda_1, . . . , \lambda_n, . . .)$ là một dãy các phần tử của $k'$ sao cho $\lambda_n=\lambda^p_{n+1}$ với mọi $n$ và $\lambda_1= 1$, thì $\lambda_n= 1$ với mọi $n.$)

b) Cho $\rho :\mathfrak{s}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$ là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của $\mathfrak{s}$, và cho $\pi$ là đồng cấu từ $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ đến $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ tương thích với $\rho$ (no. 4). Chứng minh rằng $\pi$ là đồng cấu duy nhất của các nhóm Lie $\varphi :\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)\rightarrow$ $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ sao cho $L(\varphi ) =\rho$. (Dùng $a$) để chứng minh rằng $\pi$ và $\rho$ trùng nhau trên exp($n$), với $n$ lũy linh trong $\mathfrak{s}$, và nhận xét rằng $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ được sinh bởi các exp($n$)$.)$