Bài tập 6, § 1

Nếu E là một $\mathfrak{s}$-môđun hữu hạn chiều, và $n$ là một số nguyên, ký hiệu $a_n$ là chiều của không gian riêng của $H_E$ ứng với trị riêng $n$. Ký hiệu $c_E(T)$ là phần tử của $\mathbf{Z}[T,T^{-1}]$ được định nghĩa bởi $c_E(T) =\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nT^n$.

a) Định nghĩa $L_m$ như trong Bài tập 5. Chứng minh rằng

chiều $L_m=a_m-a_{m+2}$ với mọi số nguyên $m\geq 0$.

Suy ra rằng $c_E(T) =c_{E'}(T)$ khi và chỉ khi E và $E'$ đẳng cấu. Tìm lại kết quả này bằng cách dùng Bài tập $18e)$ của Chương VII, §3.

b) Chứng minh rằng $c_{E\oplus F}=c_E+c_F$ và $c_{E\otimes F}=c_E.c_F$.

c) Ta có $c_{V(m)}(T) = (T^{m+1}-T^{-m-1})/(T-T^{-1})$. d) Suy ra từ a), b), c) rằng, nếu $m\geq m'\geq 0$, $\mathfrak{s}$-môđun $V(m)\otimes V(m')$ đẳng cấu với

Nếu $m\geq 0$, $\mathfrak{s}$-môđun $S^2V(m)$ đẳng cấu với

và $\mathfrak{s}$-môđun $\Lambda^2V(m)$ đẳng cấu với