Bài tập 5, § 10

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là tách được. Nếu $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{g}$, ký hiệu bởi $E(\mathfrak{h})$ nhóm con của Aut$_e(\mathfrak{g})$ sinh bởi các $e^{adx},x\in \mathfrak{g}^{\alpha}(\mathfrak{h})$, $\alpha \in R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$, xem Chương VII, §3, no. 2. a) Cho $\mathfrak{b}$ là một đại số con Borel của $\mathfrak{g}$ chứa $\mathfrak{h}$, và cho $\mathfrak{h}_1$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{b}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{h}_1$ liên hợp với $\mathfrak{h}$ bởi một phần tử của $E(\mathfrak{h})$. Suy ra rằng $E(\mathfrak{h}) = E(\mathfrak{h}_1)$.

b) Cho $\mathfrak{h}'$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $E(\mathfrak{g}) = E(\mathfrak{h}')$. (Nếu $\mathfrak{b}'$ là một đại số con Borel chứa $\mathfrak{h}'$, chọn một đại số con Cartan $\mathfrak{h}_1$ của $\mathfrak{b}\cap \mathfrak{b}'$ và áp dụng $a$) để chứng minh rằng $E(\mathfrak{h}) = E(\mathfrak{h}_1) = E(\mathfrak{h}').)$

c) Cho $x$ là một phần tử lũy linh của $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $e^{adx}\in E(\mathfrak{h})$. (Dùng $b$) và Hệ quả 2 của Định lý 1 để rút gọn về trường hợp trong đó $x\in [\mathfrak{b},\mathfrak{b}].)$ Suy ra rằng $E(\mathfrak{h}) =$ Aut$_e(\mathfrak{g})$.