Bài tập 10, § 11

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn tách được. Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong $\mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một đại số con Cartan tách $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{g}$ chứa $h$. (Dùng Bài tập $10b$) của §3.)

b) Chọn $\mathfrak{h}$ như trong a). Chứng minh rằng $h\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$ và tồn tại một cơ sở B của $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ sao cho $\alpha (h)\in \{0,1,2\}$ với mọi $\alpha \in B$ (xem Mệnh đề 5). Phần tử $x$ thuộc đại số con của $\mathfrak{g}$ sinh bởi các $\mathfrak{g}^{\alpha},\alpha \in B$.

c) Suy ra từ a) và b), cùng với định lý Jacobson-Morozov, một chứng minh mới của sự kiện rằng mọi phần tử lũy linh của $\mathfrak{g}$ đều được chứa trong một đại số con Borel (xem §10, Hệ quả 2 của Định lý 1).