Bài tập 11, § 11

Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba chính $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong đại số Lie nửa đơn $\mathfrak{g}$. Trang bị cho $\mathfrak{g}$ cấu trúc môđun $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun được xác định bởi bộ ba này. Hãy chứng minh rằng

môđun được xác định như vậy là đẳng cấu với $\bigoplus_{i=1}^lV(2k_i-2)$, trong đó $k_i$ là các

bậc đặc trưng của đại số các hàm đa thức bất biến trên $\mathfrak{g}$. (Rút gọn về trường hợp trong đó $\mathfrak{g}$ là đơn tách được. Sử dụng Hệ quả 1 của Định lý 1 của §8, no. 3, và Chương VI, §4, Bài tập $6c$)$.)^{20}$