Bài tập 17, § 11

Cho $(x, h, y)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ chính trong đại số nửa đơn $\mathfrak{g}$. Với mọi $i\in \mathbf{Z}$, ký hiệu bởi $\mathfrak{g}_i$ không gian riêng của ad $h$ ứng với trị riêng $i$; ta có $\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in\mathbf{Z}}\mathfrak{g}_i$, và $\mathfrak{g}_i= 0$ nếu $i$ lẻ. Tổng trực tiếp $\mathfrak{b}$ của các $\mathfrak{g}_i,i\geq 0$, là một

đại số con Borel của $\mathfrak{g}$, và $\mathfrak{g}_0$ là một đại số con Cartan.

a) Chứng minh rằng, với mọi $z\in \mathfrak{b}$, hoán tập của $y+z$ trong $\mathfrak{g}$ có chiều $l=$ rk($\mathfrak{g}$).

b) Gọi I là đại số các hàm đa thức bất biến trên $\mathfrak{g}$, và $P_1, . . . ,P_l$ là các phần tử thuần nhất của I sinh ra I; đặt deg(P$_i$) $=k_i=m_i+ 1$. Chứng minh rằng hoán tập $\mathfrak{c}$ của $x$ trong $\mathfrak{g}$ có một cơ sở $x_1, . . . , x_l$ với $x_i\in \mathfrak{g}_{2m_i}$ (xem Bài tập 11).

c) Cho $i\in 1, l$, và gọi $J_i$ (ứng với $K_i$) là tập hợp các $j\in (1, l)$ sao cho $m_j=m_i$ (ứng với $m_j< m_i$). Gọi $f_i\in k[X_1, . . . ,X_l]$ là đa thức sao cho

$f_i(a_1, . . . , a_l) = P_i(y+\sum_{j=1}^{j=l}a_jx_j)$ với $(a_j)\in k^l$.

Chứng minh rằng $f_i$ là tổng của một dạng tuyến tính $L_i$ theo các $X_j,j\in J_i$, và một đa thức theo các $X_j,j\in K_i$. (Nếu $t\in k^*$, tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}$ bằng $t^i$ trên $\mathfrak{g}_i$ thuộc Aut$_0(\mathfrak{g})$ và biến $y$ thành $t^{-2}y$ và $x_j$ thành $t^{2m_j}x_j$. Hãy dùng tính bất biến của $P_i$ đối với tự đẳng cấu này.)

d) Gọi P là ánh xạ từ $\mathfrak{g}$ vào $k^l$ được xác định bởi các $P_i$. Nếu $z\in \mathfrak{g}$, ký hiệu bởi $D_zP :\mathfrak{g}\rightarrow k^l$ ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của P tại $z$ (Chương VII, Phụ lục I, no. 2).

Chứng minh rằng $\mathfrak{c}\cap$ Im ad($y-x$) $= 0$ (phân tích $\mathfrak{g}$ thành một tổng trực tiếp các môđun con đơn đối với đại số con sinh bởi bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ đã cho). Suy ra rằng hạn chế của $D_{y-x}P$ lên $\mathfrak{c}$ là một đẳng cấu từ $\mathfrak{c}$ lên $k^l$ (dùng bài tập trước và Bài tập $18a$) của §8)). Chứng minh, bằng cách dùng kết quả này, rằng định thức của các dạng tuyến tính $L_i$ được định nghĩa trong c) là $\not= 0$, và suy ra các kết quả sau:

$d_1)$ các đa thức $f_1, . . . , f_l$ độc lập đại số và sinh $k[X_1, . . . ,X_l]$;

$d_2)$ ánh xạ $z \rightarrow P(y+z)$ từ $\mathfrak{c}$ vào $k^l$ là đa thức song ánh, và ánh xạ nghịch đảo là đa thức;

$d_3)$ với mọi $z\in y+\mathfrak{c}$, ánh xạ tuyến tính $D_zP|\mathfrak{c}$ có hạng $l$.

Đặc biệt, ánh xạ $P :\mathfrak{g}\rightarrow k^l$ là toàn ánh.

e) Nếu $k$ đóng đại số, mọi phần tử của $\mathfrak{g}$ mà hoán tập có chiều $l$ đều liên hợp dưới Aut$_0(\mathfrak{g})$ với một phần tử duy nhất của $y+\mathfrak{c}$. f) Cho một ví dụ về một đại số Lie đơn không có bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ chính, mà đối với nó ánh xạ P không toàn ánh (lấy $k=\mathbf{R}$ và $l= 1$).