Bài tập 14, § 13

a) Cho G là nhóm liên kết với $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$ theo thủ tục của §7, Bài tập 26. Cấu trúc $\mathfrak{g}$-môđun tự nhiên trên $k^n$ cho một đồng cấu $\varphi : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(n, k)$. Dùng loc. cit. h) để chứng minh rằng $\varphi$ là đơn ánh, và loc. cit. f) để chứng minh rằng

Im($\varphi$ ) $=\mathbf{S}\mathbf{L}(n, k)$.

b) Cho E là một $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k$)-môđun hữu hạn chiều, và $\rho$ là biểu diễn tương ứng của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một biểu diễn duy nhất $\pi :\mathbf{S}\mathbf{L}(n, k)\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ sao cho $\pi (e^x) =e^{\rho(x)}$ với mọi phần tử lũy linh $x$ của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$ (dùng $a$)$)$. Ta nói rằng $\rho$ và $\pi$ là tương thích. Hãy khái quát hóa các kết quả đã được chứng minh cho $n= 2$ trong §1, no. 4.

c) Giả sử rằng $k$ là $\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc một trường đầy đủ đối với một định giá rời rạc có trường thặng dư với đặc số $\not= 0$. Hãy chỉ ra rằng $\rho$ và $\pi$ là tương thích khi và chỉ khi $\pi$ là một đồng cấu các nhóm Lie sao cho $L(\pi ) =\rho$ (cùng phương pháp như trong Bài tập $18b$) của §1).

d) Hãy chứng minh các kết quả tương tự cho $\mathfrak{s}\mathfrak{p}(2n, k)$ và $\mathbf{S}\mathbf{p}(2n, k)$.