Bài tập 15, § 13

Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $\geq 2,\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie của End(V) và $\theta$ là một phần tử của $\mathfrak{g}$. Ta đặt các giả thiết sau:

(i) V là một $\mathfrak{g}$-môđun nửa đơn; (ii) $\theta$ có hạng 1 (nghĩa là dim Im($\theta$ ) $= 1$);

(iii) đường thẳng Im($\theta$ ) sinh ra $U(\mathfrak{g}$)-môđun V.

a) Chứng minh rằng các giả thiết này được thỏa mãn (với một lựa chọn thích hợp của $\theta$ ) khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}$(V), khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V), hoặc khi tồn tại một dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến $\Psi$ trên V sao cho $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{p}(\Psi )$ hoặc $\mathfrak{g}=k.1\oplus \mathfrak{s}\mathfrak{p}(\Psi )$. Trong mỗi trường hợp này, $\theta$ có thể được chọn là một phần tử lũy linh; trong trường hợp thứ hai (và chỉ trong trường hợp đó) $\theta$ có thể được chọn là một phần tử nửa đơn.

b) Ta sẽ chứng minh rằng bốn trường hợp trên là những trường hợp duy nhất có thể xảy ra. Ta được quy về ngay lập tức trường hợp trong đó $k$ là đóng đại số. Chứng minh rằng khi đó V là một $\mathfrak{g}$-môđun đơn, và rằng $\mathfrak{g}=\mathfrak{c}\oplus \mathfrak{s}$, trong đó $\mathfrak{s}$ là nửa đơn, và $\mathfrak{c}= 0$ hoặc $\mathfrak{c}=k.1$; chứng minh rằng V không đẳng cấu với một tích tenxơ của các $\mathfrak{g}$-môđun có chiều $\geq 2$; suy ra rằng $\mathfrak{s}$ là đơn.

c) Chọn một đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{s}$, và một cơ sở B của $R(\mathfrak{s},\mathfrak{h})$. Gọi $\lambda$ là trọng số cao nhất (đối với B) của $\mathfrak{s}$-môđun V, và gọi $e$ là một phần tử khác không của V có trọng số $\lambda$. Trọng số cao nhất của môđun đối ngẫu $V^*$ là $\lambda^*=-w_0\lambda ($§7, no. 5); gọi $e^*$ là một phần tử khác không của $V^*$ có trọng số $\lambda^*$. Đồng nhất $V\otimes V^*$ với End(V) như thường lệ. Chứng minh rằng tồn tại $x\in V, y\in V^*$ sao cho $x\otimes y\in \mathfrak{g}$ và $\langle x, e^*\rangle \not= 0,\langle e, y\rangle \not= 0$ (lấy phần tử liên hợp của $\theta$ bởi $e^n$, trong đó $n$ là một phần tử lũy linh thích hợp của $\mathfrak{g}$). Sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{g}$ là một $\mathfrak{h}$-môđun con của $V\otimes V^*$ để kết luận rằng $\mathfrak{g}$ chứa $e\otimes e^*$. Suy ra rằng $\lambda +\lambda^*= \widetilde{\alpha}$, trong đó $\widetilde{\alpha}$ là nghiệm cao nhất của $\mathfrak{s}$.

d) Chứng minh rằng $\mathfrak{s}$ không có kiểu $B_l(l\geq 2), D_l(l\geq 4), E_6,E_7,E_8,F_4,G_2$ (theo Chương VI, các Bảng$, \widetilde{\alpha}$ sẽ là một trọng số cơ bản, và do đó không thể có dạng $\lambda +\lambda^*$ ở trên). Suy ra rằng $\mathfrak{s}$ hoặc có kiểu $A_l$ hoặc có kiểu $C_l$, và trong trường hợp thứ nhất $\lambda =\varpi_1$ hoặc $\varpi_1=\varpi_1^*$, còn trong trường hợp thứ hai $\widetilde{\alpha}= 2\varpi_1=\varpi_1+\varpi^*_1$; vì $\mathfrak{c}= 0$ hoặc $k.1$, điều này thực sự cho bốn khả năng trong $a)^{21}$.