Bài tập 16, § 13

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie đơn tuyệt đối kiểu $A_l(l\geq 2), \overline{k}$ là một bao đóng đại số của $k$, và $\pi :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut( $\overline{R},\overline{B}$) là đồng cấu được xác định trong Bài tập 8 của §5.

a) Giả sử rằng $\pi$ là tầm thường. Hãy chỉ ra rằng tồn tại đúng hai iđêan hai phía $\mathfrak{m}$ và $\mathfrak{m}'$ của $U(\mathfrak{g})$ sao cho $D = U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$ và $D'= U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}'$ là các đại số đơn tâm có chiều $(l+ 1)^2$ (sử dụng Bài tập 8 của §7). Tự đẳng cấu phản chính của $U(\mathfrak{g})$ hoán đổi $\mathfrak{m}$ và $\mathfrak{m}'$; đặc biệt, $D'$ đẳng cấu với đại số đối của D. Ánh xạ hợp thành $\mathfrak{g}\rightarrow U(\mathfrak{g})\rightarrow D$ đồng nhất $\mathfrak{g}$ với đại số con Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_D$ của D gồm các phần tử có vết bằng không. Hơn nữa, $\mathfrak{g}$ tách được (và do đó đẳng cấu với $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(l+ 1, k)$) khi và chỉ khi D đẳng cấu với $\mathbf{M}_{l+1}(k)$.

Ngược lại, nếu $\Delta$ là một đại số đơn tâm có chiều $(l+ 1)^2$, đại số Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta}$ là đơn tuyệt đối kiểu $A_l$, và đồng cấu tương ứng

$^{21}$Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem: V. W. GUILLEMIN, D. QUILLEN và S.

STERNBERG, The classification of the irreducible complex algebras of infinite

type, J. Analyse Math., Vol. XVII (1967), pp. 107-112.

$\pi$ là tầm thường. Hai đại số như vậy $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta}$ và $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta'}$ đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi $\Delta$ và $\Delta '$ đẳng cấu hoặc phản đẳng cấu.

b) Giả sử rằng $\pi$ không tầm thường. Vì Aut( $\overline{R},\overline{B}$) có hai phần tử, hạt nhân của $\pi$ là một nhóm con mở của Gal($\overline{k}/k$) có chỉ số 2, tương ứng theo lý thuyết Galois với một mở rộng bậc hai $k_1$ của $k$. Ký hiệu tự đẳng cấu đối hợp không tầm thường của $k_1$ bởi $x \rightarrow \overline{x}$.

Chứng minh rằng tồn tại một iđêan hai phía duy nhất $\mathfrak{m}$ của $U(\mathfrak{g})$ sao cho D = $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$ là một đại số đơn có chiều $2(l+ 1)^2$ mà tâm của nó là một mở rộng bậc hai của $k$ (cùng phương pháp). Tâm của D có thể được đồng nhất với $k_1$. Iđêan $\mathfrak{m}$ ổn định dưới tự đẳng cấu phản chính của $U(\mathfrak{g})$; điều đó xác định, bằng cách chuyển qua thương, một tự đẳng cấu phản đối hợp thành $\sigma$ của D sao cho $\sigma (x) = \overline{x}$ với mọi $x\in k_1$. Ánh xạ hợp thành $\mathfrak{g}\rightarrow U(\mathfrak{g})\rightarrow D$ đồng nhất $\mathfrak{g}$ với đại số con Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{D,\sigma}$ của D gồm các phần tử $x$ sao cho $\sigma (x) =-x$ và Tr$_{D/k_1}(x) = 0$. Ngược lại, nếu $\Delta$ là một $k_1$-đại số đơn tâm có chiều $(l+1)^2$, được trang bị một tự đẳng cấu phản đối hợp thành $\sigma$ mà hạn chế của nó trên $k_1$ là $x \rightarrow \overline{x}$, thì đại số Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta ,\sigma}$ là tuyệt đối đơn kiểu $A_l$, và đồng cấu tương ứng $\pi$ là đồng cấu liên kết với $k_1$. Hai đại số như vậy $\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta ,\sigma}$ và $\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta',\sigma'}$ là đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại một $k$-đẳng cấu $f:\Delta \rightarrow \Delta '$ sao cho $\sigma '\circ f=f\circ \sigma$.

Chứng minh rằng, khi $D =\mathbf{M}_{l+1}(k_1)$, tồn tại một ma trận Hermit khả nghịch $H$ bậc $l+ 1$, duy nhất đến phép nhân với một phần tử của $k^*$, sao cho

với mọi $x\in \mathbf{M}_{l+1}(k_1)$; đại số $\mathfrak{g}$ khi đó có thể được đồng nhất với đại số $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(l+ 1, H)$ gồm các ma trận $x$ sao cho $x.H+H.^t\overline{x}= 0$ và Tr($x$) $= 0$.