Bài tập 17, § 13

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie đơn tuyệt đối kiểu $B_l$ (ứng với $C_l,D_l$), với $l\geq 2$ (ứng với $l\geq 3, l\geq 4$). Giả sử thêm rằng, khi $\mathfrak{g}$ thuộc kiểu $D_4$, ảnh của đồng cấu $\pi :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut( $\overline{R},\overline{B}$) được định nghĩa trong Bài tập 8 của §5 có cấp $\leq 2$. Chứng minh rằng tồn tại một đại số đơn tâm D có chiều $(2l+ 1)^2$ (ứng với $4l^2,4l^2$) và một phản tự đẳng cấu đối hợp $\sigma$ của D sao cho $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với đại số Lie con của D gồm các phần tử $x$ sao cho $\sigma (x) =-x$ và Tr$_D(x) = 0$ (cùng phương pháp như trong Bài tập $16a$)$).^{22}$