Bài tập 2, § 13

Cho $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ là một đại số Lie tách đơn, và B là một cơ sở của $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$. Các môđun đơn $\mathfrak{g}$- $E(\lambda ),\lambda \in P_{++}$ -- $\{0\}$, có chiều nhỏ nhất là những môđun mà $\lambda$ là một trong các trọng số sau:

$\varpi_1(A_1);\varpi_1$ và $\varpi_l(A_l,l\geq 2);\varpi_1(B_l$ và $C_l,l\geq 2);\varpi_1, \varpi_3$ và $\varpi_4$ $(D_4);\varpi_1(D_l,l\geq 5);\varpi_1$ và $\varpi_6(E_6);\varpi_7(E_7);\varpi_8(E_8);\varpi_4(F_4);\varpi_1(G_2)$.

Hai môđun bất kỳ như vậy có thể được biến đổi thành nhau bởi một tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}$.

Kiểu $E_8$ là kiểu duy nhất mà biểu diễn phụ hợp có chiều nhỏ nhất.