Bài tập 4, § 13

Cho $S$ là ma trận vuông cấp $n$

0 0 $\cdots$ 0 1

0 0 $\cdots$ 1 0

$(\delta_{i,n+1-i}) =$ ... ... . .. ... ....

0 1 $\cdots$ 0 0

1 0 $\cdots$ 0 0

Các phần tử của $\mathfrak{o}_S(n, k)$ là các ma trận $(a_{ij})$ phản đối xứng đối với đường chéo thứ hai:

$a_{i,j}=-a_{n+1-j,n+1-i}$ với mọi cặp $(i, j)$.

Đại số $\mathfrak{o}_S(n, k)$ là nửa đơn tách được kiểu $D_{n/2}$ nếu $n$ là chẵn và $\geq 6$, và kiểu $B_{(n-1)/2}$ nếu $n$ là lẻ và $\geq 5$. Các phần tử đường chéo (tương ứng tam giác trên) của $\mathfrak{o}_S(n, k)$ tạo thành một đại số con Cartan tách được (tương ứng Borel).